Упростите выражение: (2x² - 1)3 + (3x3 + 1)²

Для упрощения выражения \((2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2\) давайте разберём его по шагам.

Шаг 1: Упрощение каждого члена отдельно

Первый член: \((2x^2 - 1)^3\)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой куба разности:

\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

Где:

• \(a = 2x^2\)
• \(b = 1\)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ (2x^2 - 1)^3 = (2x^2)^3 - 3(2x^2)^2(1) + 3(2x^2)(1^2) - (1)^3 \]

Посчитаем каждое слагаемое:

1. \((2x^2)^3 = 8x^6\)
2. \(3(2x^2)^2(1) = 3 \cdot 4x^4 = 12x^4\)
3. \(3(2x^2)(1^2) = 6x^2\)
4. \((1)^3 = 1\)

Теперь подставим полученные значения:

\[ (2x^2 - 1)^3 = 8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 1 \]

Второй член: \((3x^3 + 1)^2\)

Используем формулу квадрата суммы:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Где:

• \(a = 3x^3\)
• \(b = 1\)

Подставим значения:

\[ (3x^3 + 1)^2 = (3x^3)^2 + 2(3x^3)(1) + (1)^2 \]

Посчитаем каждое слагаемое:

1. \((3x^3)^2 = 9x^6\)
2. \(2(3x^3)(1) = 6x^3\)
3. \((1)^2 = 1\)

Теперь подставим полученные значения:

\[ (3x^3 + 1)^2 = 9x^6 + 6x^3 + 1 \]

Шаг 2: Сложение преобразованных выражений

Теперь, когда мы упрощили оба выражения, можно их сложить:

\[ (2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2 = (8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 1) + (9x^6 + 6x^3 + 1) \]

Складываем все слагаемые:

1. \(8x^6 + 9x^6 = 17x^6\)
2. \(-12x^4\) (только одно слагаемое этого порядка)
3. \(6x^3\) (только одно слагаемое этого порядка)
4. \(6x^2\) (только одно слагаемое этого порядка)
5. \(-1 + 1 = 0\) (константы складываются и дают 0)

Формула результата

Итак, обобщаем результат:

\[ (2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2 = 17x^6 - 12x^4 + 6x^3 + 6x^2 \]

Таким образом, окончательное упрощенное выражение:

\[ 17x^6 - 12x^4 + 6x^3 + 6x^2 \]

Заключение

Мы упрощали выражение шаг за шагом, используя известные алгебраические формулы и аккуратно складывая похожие термины. Если у вас есть ещё вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!