Упростите выражение: (2x² - 1)3 + (3x3 + 1)²

Для упрощения выражения \((2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2\) давайте разберём его по шагам. ### Шаг 1: Упрощение каждого члена отдельно **Первый член: \((2x^2 - 1)^3\)** Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой куба разности: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \] Где: - \(a = 2x^2\) - \(b = 1\) Теперь подставим значения в формулу: \[ (2x^2 - 1)^3 = (2x^2)^3 - 3(2x^2)^2(1) + 3(2x^2)(1^2) - (1)^3 \] Посчитаем каждое слагаемое: 1. \((2x^2)^3 = 8x^6\) 2. \(3(2x^2)^2(1) = 3 \cdot 4x^4 = 12x^4\) 3. \(3(2x^2)(1^2) = 6x^2\) 4. \((1)^3 = 1\) Теперь подставим полученные значения: \[ (2x^2 - 1)^3 = 8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 1 \] **Второй член: \((3x^3 + 1)^2\)** Используем формулу квадрата суммы: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Где: - \(a = 3x^3\) - \(b = 1\) Подставим значения: \[ (3x^3 + 1)^2 = (3x^3)^2 + 2(3x^3)(1) + (1)^2 \] Посчитаем каждое слагаемое: 1. \((3x^3)^2 = 9x^6\) 2. \(2(3x^3)(1) = 6x^3\) 3. \((1)^2 = 1\) Теперь подставим полученные значения: \[ (3x^3 + 1)^2 = 9x^6 + 6x^3 + 1 \] ### Шаг 2: Сложение преобразованных выражений Теперь, когда мы упрощили оба выражения, можно их сложить: \[ (2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2 = (8x^6 - 12x^4 + 6x^2 - 1) + (9x^6 + 6x^3 + 1) \] Складываем все слагаемые: 1. \(8x^6 + 9x^6 = 17x^6\) 2. \(-12x^4\) (только одно слагаемое этого порядка) 3. \(6x^3\) (только одно слагаемое этого порядка) 4. \(6x^2\) (только одно слагаемое этого порядка) 5. \(-1 + 1 = 0\) (константы складываются и дают 0) ### Формула результата Итак, обобщаем результат: \[ (2x^2 - 1)^3 + (3x^3 + 1)^2 = 17x^6 - 12x^4 + 6x^3 + 6x^2 \] Таким образом, окончательное упрощенное выражение: \[ 17x^6 - 12x^4 + 6x^3 + 6x^2 \] ### Заключение Мы упрощали выражение шаг за шагом, используя известные алгебраические формулы и аккуратно складывая похожие термины. Если у вас есть ещё вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!