н
Чтобы решить задачу о нахождении суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, нужно использовать формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
где:
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии,
- \( n \) — число членов прогрессии.
Дано:
- \( b/n = \frac{1}{10} \)
- \( q = \frac{1}{5} \).
Поскольку \( b/n \) — первый член прогрессии, примем \( a = \frac{1}{10} \).
Нужно найти сумму первых пяти членов (\( n = 5 \)).
Подставим значения в формулу:
\[ S_5 = \frac{1}{10} \frac{\left( \frac{1}{5} \right)^5 - 1}{\frac{1}{5} - 1} \]
Посчитаем \( \left( \frac{1}{5} \right)^5 \):
\[ \left( \frac{1}{5} \right)^5 = \frac{1}{3125} \]
Теперь подставим:
\[ S_5 = \frac{1}{10} \frac{\frac{1}{3125} - 1}{\frac{1}{5} - 1} \]
Упрощаем знаменатель:
\[ \frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5} \]
Подставим назад:
\[ S_5 = \frac{1}{10} \frac{\frac{1}{3125} - 1}{-\frac{4}{5}} \]
Сначала числитель:
\[ \frac{1}{3125} - 1 = \frac{1 - 3125}{3125} = \frac{-3124}{3125} \]
Теперь подставим:
\[ S_5 = \frac{1}{10} \cdot \frac{-3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} \]
Упростим дробь:
\[ S_5 = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{-3124}{3125} = \frac{1 \cdot 5 \cdot -3124}{10 \cdot 4 \cdot 3125} \]
Упростим:
\[ S_5 = \frac{-15620}{125000} \]
Теперь сократим дробь:
\[ S_5 = -\frac{1562}{12500} \]
Это результат суммы первых пяти членов геометрической прогрессии.
