Из десяти студентов, пришедших на экзамен, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров — только 15, а остальные выучили все 30 билетов. Знание билета гарантирует сдачу экзамена профессору Злобину с вероятностью 0,85, а незнание — только 0,1. С какой вероятностью случайно вызванный студент сдаст экзамен?
объяснить, как решать
Для решения этой задачи будем использовать теорию вероятностей. Нам нужно определить общую вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен.
### Данные и обозначения:
1. **Студенты и знание билетов:**
- Иванов и Петров знают 20 билетов из 30.
- Сидоров знает 15 билетов.
- Остальные (7 студентов) знают все 30 билетов.
2. **Вероятность сдачи экзамена:**
- Если студент знает билет — вероятность сдачи = 0,85.
- Если студент не знает билет — вероятность сдачи = 0,1.
### Шаг 1: Найдем количество студентов, которые знают и не знают билеты
- Из 10 студентов:
- 2 студента (Иванов и Петров) знают 20 билетов (из 30).
- 1 студент (Сидоров) знает 15 билетов.
- 7 студентов знают все 30 билетов.
### Шаг 2: Рассчитаем вероятность, что случайно выбранный студент сдаст экзамен
- Для этого сначала найдем вероятность того, что студент принадлежит к каждой из трех категорий (знание билетов):
- Вероятность выбора Иванова или Петрова:
\[
P(\text{знает 20}) = \frac{2}{10} = 0,2
\]
- Вероятность выбора Сидорова:
\[
P(\text{знает 15}) = \frac{1}{10} = 0,1
\]
- Вероятность выбора одного из 7 студентов, знающих 30 билетов:
\[
P(\text{знает 30}) = \frac{7}{10} = 0,7
\]
### Шаг 3: Рассчитаем общую вероятность сдачи экзамена для каждой категории
Теперь поможем каждому типу студентов найти вероятность сдачи экзамена:
1. Для студентов, знающих 20 билетов (Иванов и Петров):
- Вероятность сдачи:
\[
P(\text{сдача} | \text{знает 20}) = 0,85
\]
2. Для студента, знающего 15 билетов (Сидоров):
- Вычислим вероятность, что он не знает 15 билетов:
- Знание 15 билетов означает, что он не знает 15 билетов. Вероятность сдачи:
\[
P(\text{сдача} | \text{знает 15}) = 0,1
\]
3. Для студентов, знающих 30 билетов (остальные 7):
- Вероятность сдачи:
\[
P(\text{сдача} | \text{знает 30}) = 0,85
\]
### Шаг 4: Используем формулу полной вероятности
Общая вероятность сдачи экзамена \( P(\text{сдача}) \):
\[
P(\text{сдача}) = P(\text{знает 20}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 20}) + P(\text{знает 15}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 15}) + P(\text{знает 30}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 30})
\]
Подставим все известные вероятности:
\[
P(\text{сдача}) = 0,2 \cdot 0,85 + 0,1 \cdot 0,1 + 0,7 \cdot 0,85
\]
### Шаг 5: Выполним расчеты
Теперь подставим значения и вычислим:
1. \( 0,2 \cdot 0,85 = 0,17 \)
2. \( 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \)
3. \( 0,7 \cdot 0,85 = 0,595 \)
Складываем все:
\[
P(\text{сдача}) = 0,17 + 0,01 + 0,595 = 0,775
\]
### Ответ
Таким образом, вероятность того, что случайно вызванный студент сдаст экзамен, составляет \( 0,775 \) или 77,5%.
