Из десяти студентов, пришедших на экзамен, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров — только 15, а остальные выучили все 30 билетов. Знание билета гарантирует сдачу…

Для решения этой задачи будем использовать теорию вероятностей. Нам нужно определить общую вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен.

Данные и обозначения:

1. Студенты и знание билетов:

   • Иванов и Петров знают 20 билетов из 30.
   • Сидоров знает 15 билетов.
   • Остальные (7 студентов) знают все 30 билетов.

2. Вероятность сдачи экзамена:

   • Если студент знает билет — вероятность сдачи = 0,85.
   • Если студент не знает билет — вероятность сдачи = 0,1.

Шаг 1: Найдем количество студентов, которые знают и не знают билеты

• Из 10 студентов:
  • 2 студента (Иванов и Петров) знают 20 билетов (из 30).
  • 1 студент (Сидоров) знает 15 билетов.
  • 7 студентов знают все 30 билетов.

Шаг 2: Рассчитаем вероятность, что случайно выбранный студент сдаст экзамен

• Для этого сначала найдем вероятность того, что студент принадлежит к каждой из трех категорий (знание билетов):
  • Вероятность выбора Иванова или Петрова: \[ P(\text{знает 20}) = \frac{2}{10} = 0,2 \]
  • Вероятность выбора Сидорова: \[ P(\text{знает 15}) = \frac{1}{10} = 0,1 \]
  • Вероятность выбора одного из 7 студентов, знающих 30 билетов: \[ P(\text{знает 30}) = \frac{7}{10} = 0,7 \]

Шаг 3: Рассчитаем общую вероятность сдачи экзамена для каждой категории

Теперь поможем каждому типу студентов найти вероятность сдачи экзамена:

1. Для студентов, знающих 20 билетов (Иванов и Петров):

   • Вероятность сдачи: \[ P(\text{сдача} | \text{знает 20}) = 0,85 \]

2. Для студента, знающего 15 билетов (Сидоров):

   • Вычислим вероятность, что он не знает 15 билетов:
   • Знание 15 билетов означает, что он не знает 15 билетов. Вероятность сдачи: \[ P(\text{сдача} | \text{знает 15}) = 0,1 \]

3. Для студентов, знающих 30 билетов (остальные 7):

   • Вероятность сдачи: \[ P(\text{сдача} | \text{знает 30}) = 0,85 \]

Шаг 4: Используем формулу полной вероятности

Общая вероятность сдачи экзамена \( P(\text{сдача}) \): \[ P(\text{сдача}) = P(\text{знает 20}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 20}) + P(\text{знает 15}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 15}) + P(\text{знает 30}) \cdot P(\text{сдача} | \text{знает 30}) \]

Подставим все известные вероятности: \[ P(\text{сдача}) = 0,2 \cdot 0,85 + 0,1 \cdot 0,1 + 0,7 \cdot 0,85 \]

Шаг 5: Выполним расчеты

Теперь подставим значения и вычислим:

1. \( 0,2 \cdot 0,85 = 0,17 \)
2. \( 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \)
3. \( 0,7 \cdot 0,85 = 0,595 \)

Складываем все: \[ P(\text{сдача}) = 0,17 + 0,01 + 0,595 = 0,775 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что случайно вызванный студент сдаст экзамен, составляет \( 0,775 \) или 77,5%.