Найди длину отрезка � � PQ , если � � = 20 PL=20 , � � = 30 LO=30 , а прямая � � PQ — касательная к окружности.

Чтобы найти длину отрезка \( PQ \), мы будем использовать свойства касательных и радиусов окружности. Давайте разберемся шаг за шагом.

Дано:

• \( PL = 20 \)
• \( LO = 30 \)
• \( PQ \) — касательная к окружности

Обозначения:

• \( P \) — точка касания касательной.
• \( L \) — точка на окружности, где радиус \( LO \) встречается с окружностью.
• \( O \) — центр окружности.

Шаги решения:

1. Рисуем схему. Начертим окружность с центром \( O \) и радиусами \( PL \) и \( LO \). Точка \( L \) будет находиться на окружности, а точка \( P \) — на касательной к окружности. Касательная \( PQ \) касается окружности в точке \( P \).

2. Применяем теорему о касательной и радиусе. Согласно этой теореме, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, угол между радиусом \( OP \) и касательной \( PQ \) равен \( 90^\circ \).

3. Используем теорему Пифагора. В треугольнике \( OPL \):

   • \( OP \) — радиус окружности (который равен \( LO \)).
   • \( PL \) — длина отрезка от точки касания \( P \) до точки \( L \) на касательной.
   • \( OL \) — радиус окружности (длина = 30).

   По теореме Пифагора: \[ PL^2 + PQ^2 = OL^2 \] Подставим известные значения: \[ 20^2 + PQ^2 = 30^2 \]

4. Решим уравнение. \[ 400 + PQ^2 = 900 \] Выразим \( PQ^2 \): \[ PQ^2 = 900 - 400 \] \[ PQ^2 = 500 \] Теперь найдём \( PQ \): \[ PQ = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \]

Ответ:

Длина отрезка \( PQ \) равна \( 10\sqrt{5} \). Это примерно 22.36, если округлять до двух знаков после запятой.