при каких значениях а графики функций y = -x²-4x+2 и y = -2x+a имеют общие точки?
Для того чтобы найти значения параметра \( a \), при которых графики функций \( y = -x^2 - 4x + 2 \) и \( y = -2x + a \) имеют общие точки, нужно приравнять обе функции друг к другу и решить полученное уравнение.
Запишем уравнение: \[ -x^2 - 4x + 2 = -2x + a \]
Переносим все члены в одну сторону: \[ -x^2 - 4x + 2 + 2x - a = 0 \] Упростим: \[ -x^2 - 2x + (2 - a) = 0 \]
Умножим уравнение на -1 для удобства: \[ x^2 + 2x + (a - 2) = 0 \]
Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для того чтобы функции имели общие точки, это уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Для этого необходимо, чтобы дискриминант \( D \) был неотрицательным.
Находим дискриминант: Дискриминант квадратного уравнения вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) вычисляется по формуле: \[ D = B^2 - 4AC \] В нашем уравнении:
- \( A = 1 \)
- \( B = 2 \)
- \( C = a - 2 \)
Подставляем значения: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 4 - 4(a - 2) = 4 - 4a + 8 = 12 - 4a \]
Условие для наличия общих точек: Для того чтобы существовали решения, дискриминант должен быть неотрицательным: \[ 12 - 4a \geq 0 \]
Решаем неравенство: \[ 12 \geq 4a \] Разделим обе стороны на 4: \[ 3 \geq a \] Или в другом виде: \[ a \leq 3 \]
Таким образом, при значениях \( a \) из области \( a \leq 3 \) графики функций \( y = -x^2 - 4x + 2 \) и \( y = -2x + a \) будут иметь общие точки.
