Синус 75

Чтобы найти значение \( \sin(75^\circ) \), мы можем использовать формулу для суммы углов. Мы знаем, что: \[ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \] Теперь мы можем применить формулу синуса суммы углов: \[ \sin(a + b) = \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b) \] Подставим \( a = 45^\circ \) и \( b = 30^\circ \): \[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ) \cdot \cos(30^\circ) + \cos(45^\circ) \cdot \sin(30^\circ) \] Теперь найдем значения \( \sin(45^\circ) \), \( \cos(30^\circ) \), \( \cos(45^\circ) \) и \( \sin(30^\circ) \): - \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) Теперь подставим эти значения в формулу: \[ \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \] Теперь упрощаем выражение: \[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] Сложим дроби: \[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Эта формула показывает, как мы можем использовать известные значения тригонометрических функций для вычисления синуса более сложного угла.