Синус 75

Чтобы найти значение \( \sin(75^\circ) \), мы можем использовать формулу для суммы углов. Мы знаем, что:

\[ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \]

Теперь мы можем применить формулу синуса суммы углов:

\[ \sin(a + b) = \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b) \]

Подставим \( a = 45^\circ \) и \( b = 30^\circ \):

\[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ) \cdot \cos(30^\circ) + \cos(45^\circ) \cdot \sin(30^\circ) \]

Теперь найдем значения \( \sin(45^\circ) \), \( \cos(30^\circ) \), \( \cos(45^\circ) \) и \( \sin(30^\circ) \):

• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \]

Теперь упрощаем выражение:

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Сложим дроби:

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Эта формула показывает, как мы можем использовать известные значения тригонометрических функций для вычисления синуса более сложного угла.