В классе 30 учеников. Известно, что 25 % учеников набрали менее 50 баллов. Средний балл по классу равен 65. Определите стандартное отклонение оценок в классе, предполагая, что они…

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть, и с тем, что нам нужно найти.

Данные:

• Общее количество учеников (N) = 30
• Процент учеников с оценками менее 50 баллов = 25%
• Средний балл по классу (μ) = 65

Шаг 1: Определим количество учеников с оценками менее 50 баллов

25% от 30 учеников: \[ 0.25 \times 30 = 7.5 \] Так как количество учеников должно быть целым числом, округляем до 8. Таким образом, 8 учеников получили менее 50 баллов.

Шаг 2: Найдем порог (критическое) значение для оценок

В нормальном распределении 25% студентов имеют оценки ниже определенного значения. Поскольку у нас N = 30, 8 учеников — это 25%. Мы можем использовать Z-таблицы, чтобы найти Z-значение, соответствующее 25%.

Для 25% (0.25) Z-значение примерно равно -0.6745.

Шаг 3: Связь между Z-значением, средним баллом и стандартным отклонением

С использованием формулы для Z-значения: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] где:

• \(X\) — значение, соответствующее 25% (в нашем случае это 50, ниже которого находятся 8 учеников),
• \(\mu\) — среднее значение (65),
• \(\sigma\) — стандартное отклонение.

Подставим известные значения: \[ -0.6745 = \frac{50 - 65}{\sigma} \]

Шаг 4: Переработаем уравнение для нахождения стандартного отклонения

Решим уравнение для \(\sigma\): \[ -0.6745 \cdot \sigma = 50 - 65 \] \[ -0.6745 \cdot \sigma = -15 \]

Теперь делим обе стороны на -0.6745: \[ \sigma = \frac{15}{0.6745} \approx 22.19 \]

Шаг 5: Округлим результат

Итак, стандартное отклонение оценок в классе, округленное до сотых, равно: \[ \boxed{22.19} \]

Итог

Стандартное отклонение оценок в классе составляет 22.19.