Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть, и с тем, что нам нужно найти.
Данные:
- Общее количество учеников (N) = 30
- Процент учеников с оценками менее 50 баллов = 25%
- Средний балл по классу (μ) = 65
Шаг 1: Определим количество учеников с оценками менее 50 баллов
25% от 30 учеников:
[
0.25 \times 30 = 7.5
]
Так как количество учеников должно быть целым числом, округляем до 8. Таким образом, 8 учеников получили менее 50 баллов.
Шаг 2: Найдем порог (критическое) значение для оценок
В нормальном распределении 25% студентов имеют оценки ниже определенного значения. Поскольку у нас N = 30, 8 учеников — это 25%. Мы можем использовать Z-таблицы, чтобы найти Z-значение, соответствующее 25%.
Для 25% (0.25) Z-значение примерно равно -0.6745.
Шаг 3: Связь между Z-значением, средним баллом и стандартным отклонением
С использованием формулы для Z-значения:
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
где:
- (X) — значение, соответствующее 25% (в нашем случае это 50, ниже которого находятся 8 учеников),
- (\mu) — среднее значение (65),
- (\sigma) — стандартное отклонение.
Подставим известные значения:
[
-0.6745 = \frac{50 - 65}{\sigma}
]
Шаг 4: Переработаем уравнение для нахождения стандартного отклонения
Решим уравнение для (\sigma):
[
-0.6745 \cdot \sigma = 50 - 65
]
[
-0.6745 \cdot \sigma = -15
]
Теперь делим обе стороны на -0.6745:
[
\sigma = \frac{15}{0.6745} \approx 22.19
]
Шаг 5: Округлим результат
Итак, стандартное отклонение оценок в классе, округленное до сотых, равно:
[
\boxed{22.19}
]
Итог
Стандартное отклонение оценок в классе составляет 22.19.
