Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа

Решим задачу по этапам.

1. Обозначим числа:
   Пусть два последовательных натуральных числа будут \( n \) и \( n + 1 \).

2. Запишем выражения для условий задачи:

   • Квадрат суммы двух чисел:
     \[ (n + (n + 1))^2 = (2n + 1)^2 \]
   • Сумма их квадратов:
     \[ n^2 + (n + 1)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1 \]

3. Сравнение этих выражений:
   Д according to the problem statement, we know that: \[ (2n + 1)^2 = (2n^2 + 2n + 1) + 112 \]

4. Подставим и упростим:
   Подставим выражения: \[ (2n + 1)^2 = 2n^2 + 2n + 1 + 112 \] Упрощаем: \[ (2n + 1)^2 = 2n^2 + 2n + 113 \] Теперь разберем левую часть: \[ (2n + 1)(2n + 1) = 4n^2 + 4n + 1 \]

5. Приравняем обе части: \[ 4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113 \]

6. Переносим все на одну сторону:
   \[ 4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 113 = 0 \] Упрощаем: \[ 2n^2 + 2n - 112 = 0 \]

7. Делим на 2: \[ n^2 + n - 56 = 0 \]

8. Решаем квадратное уравнение:
   Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 \]

9. Находим корни: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 15}{2} \] Получаем два корня: \[ n_1 = \frac{14}{2} = 7 \] \[ n_2 = \frac{-16}{2} = -8 \quad (\text{не подходит, так как } n \text{ должно быть натуральным}) \]

Таким образом, \( n = 7 \).

10. Находим второе число:
    Второе число \( n + 1 = 7 + 1 = 8 \).

Ответ: Два последовательных натуральных числа — 7 и 8.