Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа

Решим задачу по этапам. 1. **Обозначим числа**: Пусть два последовательных натуральных числа будут \( n \) и \( n + 1 \). 2. **Запишем выражения для условий задачи**: - Квадрат суммы двух чисел: \[ (n + (n + 1))^2 = (2n + 1)^2 \] - Сумма их квадратов: \[ n^2 + (n + 1)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1 \] 3. **Сравнение этих выражений**: Д according to the problem statement, we know that: \[ (2n + 1)^2 = (2n^2 + 2n + 1) + 112 \] 4. **Подставим и упростим**: Подставим выражения: \[ (2n + 1)^2 = 2n^2 + 2n + 1 + 112 \] Упрощаем: \[ (2n + 1)^2 = 2n^2 + 2n + 113 \] Теперь разберем левую часть: \[ (2n + 1)(2n + 1) = 4n^2 + 4n + 1 \] 5. **Приравняем обе части**: \[ 4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113 \] 6. **Переносим все на одну сторону**: \[ 4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 113 = 0 \] Упрощаем: \[ 2n^2 + 2n - 112 = 0 \] 7. **Делим на 2**: \[ n^2 + n - 56 = 0 \] 8. **Решаем квадратное уравнение**: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 \] 9. **Находим корни**: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 15}{2} \] Получаем два корня: \[ n_1 = \frac{14}{2} = 7 \] \[ n_2 = \frac{-16}{2} = -8 \quad (\text{не подходит, так как } n \text{ должно быть натуральным}) \] Таким образом, \( n = 7 \). 10. **Находим второе число**: Второе число \( n + 1 = 7 + 1 = 8 \). **Ответ**: Два последовательных натуральных числа — 7 и 8.