диагонали квадрата абсд пересекаются в точке о. Сделайте чертеж и найдите угол между векторами аб и ас
Чтобы решить поставленную задачу, сначала нарисуем квадрат \(ABCD\) и обозначим точки. Затем найдем угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \).
Шаг 1: Построение чертежа
- Начертим квадрат \(ABCD\).
- Точки расположим следующим образом:
- \(A(0, 0)\) — нижний левый угол.
- \(B(1, 0)\) — нижний правый угол.
- \(C(1, 1)\) — верхний правый угол.
- \(D(0, 1)\) — верхний левый угол.
- Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в центре квадрата, то есть в точке \(O(0.5, 0.5)\).
Шаг 2: Определение векторов
Теперь определим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
- Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \)
- Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1) \)
Шаг 3: Формула для вычисления угла между векторами
Угол \( \theta \) между двумя векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) можно вычислить с помощью следующей формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} \] где \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{u}| \) и \( |\mathbf{v}| \) — их длины.
Шаг 4: Вычисление скалярного произведения
Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1, 0) \cdot (1, 1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \]
Шаг 5: Вычисление длин векторов
Теперь найдем длины векторов:
- Длина \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \)
- Длина \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
Шаг 6: Подставляем в формулу
Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Шаг 7: Вычисление угла
Находим угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]
Ответ
Угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) равен \( 45^\circ \).
