Диагонали квадрата абсд пересекаются в точке о. Сделайте чертеж и найдите угол между векторами аб и ас

Чтобы решить поставленную задачу, сначала нарисуем квадрат \(ABCD\) и обозначим точки. Затем найдем угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). ### Шаг 1: Построение чертежа 1. Начертим квадрат \(ABCD\). 2. Точки расположим следующим образом: - \(A(0, 0)\) — нижний левый угол. - \(B(1, 0)\) — нижний правый угол. - \(C(1, 1)\) — верхний правый угол. - \(D(0, 1)\) — верхний левый угол. 3. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в центре квадрата, то есть в точке \(O(0.5, 0.5)\). ### Шаг 2: Определение векторов Теперь определим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): - Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \) - Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1) \) ### Шаг 3: Формула для вычисления угла между векторами Угол \( \theta \) между двумя векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) можно вычислить с помощью следующей формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} \] где \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{u}| \) и \( |\mathbf{v}| \) — их длины. ### Шаг 4: Вычисление скалярного произведения Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1, 0) \cdot (1, 1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \] ### Шаг 5: Вычисление длин векторов Теперь найдем длины векторов: - Длина \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \) - Длина \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) ### Шаг 6: Подставляем в формулу Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] ### Шаг 7: Вычисление угла Находим угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \] ### Ответ Угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) равен \( 45^\circ \).