Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике.
Дано:
- Прямоугольный треугольник.
- Один из углов равен 60°.
- Сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 19.2.
Шаг 1: Обозначим стороны
Обозначим:
- Гипотенузу — ( c ).
- Меньший катет (противолежащий углу 60°) — ( a ).
- Другой катет (прилежащий к углу 60°) — ( b ).
Шаг 2: Используем тригонометрию
В прямоугольном треугольнике, где один угол равен 60°, применим соотношения для синусов и косинусов:
- (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2})
- (\cos(60°) = \frac{1}{2})
Согласно определению синуса и косинуса:
- ( \sin(60°) = \frac{a}{c} ) (для меньшего катета)
- ( \cos(60°) = \frac{b}{c} ) (для большего катета)
Шаг 3: Записываем уравнения
Мы можем выразить катеты через гипотенузу:
- ( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )
- ( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} )
Шаг 4: Используем данное условие
Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 19.2:
[
c + a = 19.2
]
Подставляем ( a ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 19.2
]
Шаг 5: Выносим ( c ) за скобки
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 19.2
]
Шаг 6: Упрощаем и решаем уравнение
Известно, что ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} ).
Теперь уравнение будет:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 19.2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
c(2 + \sqrt{3}) = 38.4
]
Теперь выразим ( c ):
[
c = \frac{38.4}{2 + \sqrt{3}}
]
Шаг 7: Упростим выражение
Чтобы избавиться от деления, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
[
c = \frac{38.4(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}
]
В знаменателе получаем:
[
(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1
]
Таким образом, ( c = 38.4(2 - \sqrt{3}) ).
Шаг 8: Подсчитаем численное значение
Теперь посчитаем значение:
[
c \approx 38.4(2 - 1.732) \approx 38.4(0.268) \approx 10.31
]
Итак, гипотенуза ( c \approx 10.31 ).
Ответ
Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет примерно ( 10.31 ) единиц.
