Гипотенуза прямоугольного треугольника равена 10 см а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты треугольника
Давайте решим задачу по нахождению катетов прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и косинус одного из острых углов.
Обозначим данные:
- Обозначим гипотенузу \( c = 10 \) см.
- Обозначим острый угол, для которого известен косинус, как \( \alpha \). Дано, что \( \cos(\alpha) = 0,8 \).
Используем определение косинуса: В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению длины прилежащего катета \( a \) к длине гипотенузы \( c \):
\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \]
Подставим известные значения:
\[ 0,8 = \frac{a}{10} \]
Найдём прилежащий катет \( a \): Умножим обе стороны уравнения на 10:
\[ a = 10 \cdot 0,8 = 8 \text{ см} \]
Теперь найдём противолежащий катет \( b \): Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 10^2 = 8^2 + b^2 \]
Вычислим квадраты:
\[ 100 = 64 + b^2 \]
Решим уравнение для \( b^2 \): Выразим \( b^2 \):
\[ b^2 = 100 - 64 = 36 \]
Вычислим \( b \): Теперь найдём \( b \) - длину противолежащего катета:
\[ b = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]
Ответ: Таким образом, катеты треугольника имеют следующие длины:
- Прилежащий катет \( a = 8 \) см,
- Противолежащий катет \( b = 6 \) см.
Это полный процесс решения задачи, и теперь вы понимаете, как находить катеты прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и косинус угла.
