Ребро основания правильной четырёхугольной призмы уменьшили в 4 раза, а высоту увеличили в 6 раз. Во сколько раз изменился её объём?
Чтобы понять, как изменился объём правильной четырёхугольной призмы после изменения ребра основания и высоты, давайте сначала вспомним, как вычисляется объём такой призмы.
Объём правильной четырёхугольной призмы можно вычислить по формуле:
\[ V = S_{осн} \cdot h, \]
где \( V \) — объём призмы, \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота призмы.
1. Определим начальные параметры призмы:
Пусть:
- длина ребра основания (квадрата) равна \( a \).
- высота призмы равна \( h \).
Площадь основания будет равна:
\[ S_{осн} = a^2. \]
Следовательно, объём призмы можно записать как:
\[ V = a^2 \cdot h. \]
2. Определим новые параметры после изменений:
Ребро основания уменьшили в 4 раза:
- Новое ребро \( a' = \frac{a}{4} \).
Высоту увеличили в 6 раз:
- Новая высота \( h' = 6h \).
Теперь найдём новую площадь основания:
\[ S_{осн}' = (a')^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{16}. \]
Теперь можем вычислить новый объём призмы:
\[ V' = S_{осн}' \cdot h' = \frac{a^2}{16} \cdot (6h) = \frac{6a^2h}{16} = \frac{3a^2h}{8}. \]
3. Найдем, во сколько раз изменился объём:
Теперь нужно найти отношение нового объёма к старому:
\[ \text{Изменение объёма} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{3a^2h}{8}}{a^2h} = \frac{3}{8}. \]
Итог:
Объём призмы изменился в \( \frac{3}{8} \) раз. Это значит, что новый объём составляет 3/8 от исходного объёма, то есть уменьшился.
