Чтобы понять, как изменился объём правильной четырёхугольной призмы после изменения ребра основания и высоты, давайте сначала вспомним, как вычисляется объём такой призмы.
Объём правильной четырёхугольной призмы можно вычислить по формуле:
[ V = S_{осн} \cdot h, ]
где ( V ) — объём призмы, ( S_{осн} ) — площадь основания, а ( h ) — высота призмы.
1. Определим начальные параметры призмы:
Пусть:
- длина ребра основания (квадрата) равна ( a ).
- высота призмы равна ( h ).
Площадь основания будет равна:
[ S_{осн} = a^2. ]
Следовательно, объём призмы можно записать как:
[ V = a^2 \cdot h. ]
2. Определим новые параметры после изменений:
Ребро основания уменьшили в 4 раза:
- Новое ребро ( a' = \frac{a}{4} ).
Высоту увеличили в 6 раз:
- Новая высота ( h' = 6h ).
Теперь найдём новую площадь основания:
[ S_{осн}' = (a')^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{16}. ]
Теперь можем вычислить новый объём призмы:
[ V' = S_{осн}' \cdot h' = \frac{a^2}{16} \cdot (6h) = \frac{6a^2h}{16} = \frac{3a^2h}{8}. ]
3. Найдем, во сколько раз изменился объём:
Теперь нужно найти отношение нового объёма к старому:
[
\text{Изменение объёма} = \frac{V'}{V} = \frac{\frac{3a^2h}{8}}{a^2h} = \frac{3}{8}.
]
Итог:
Объём призмы изменился в ( \frac{3}{8} ) раз. Это значит, что новый объём составляет 3/8 от исходного объёма, то есть уменьшился.
