Чтобы найти косинус угла M треугольника MNK, когда известен синус этого угла, мы можем воспользоваться тригонометрической теоремой, которая связывает синус и косинус:
[
\sin^2(M) + \cos^2(M) = 1
]
Из условия задачи известно, что:
[
\sin(M) = \frac{12}{15}
]
Сначала упрощаем дробь:
[
\sin(M) = \frac{4}{5}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2(M) + \cos^2(M) = 1
]
Подставим (\sin(M)):
[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2(M) = 1
]
Посчитаем (\left(\frac{4}{5}\right)^2):
[
\frac{16}{25}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\frac{16}{25} + \cos^2(M) = 1
]
Вычтем (\frac{16}{25}) с обеих сторон:
[
\cos^2(M) = 1 - \frac{16}{25}
]
Приведём 1 к общему знаменателю:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Тогда:
[
\cos^2(M) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
Теперь найдём косинус угла M, взяв корень из (\cos^2(M)):
[
\cos(M) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
]
В силу того, что угол M острый ((0 < M < 90) градусов), косинус будет положительным:
[
\cos(M) = \frac{3}{5}
]
Таким образом, косинус угла M равен (\frac{3}{5}).
