Для решения этой задачи начнем с обозначения переменных и установления уравнений на основе данных, которые даны в задаче.
Обозначим:
- ( x ) — первоначальная стоимость беспроводных наушников.
- Так как проводные наушники стоят на 900 рублей дешевле, то их первоначальная стоимость будет ( x - 900 ).
Согласно условию, цена проводных наушников снизилась на некоторый процент ( p_1 ), а цена беспроводных наушников — на процент ( p_2 ). Из условия задачи мы знаем, что:
- Снижение цены проводных наушников на 900 рублей составляет ( p_1 %) от их первоначальной стоимости.
- Снижение цены беспроводных наушников на 900 рублей составляет ( p_2 %) от их первоначальной стоимости.
Таким образом, можем записать следующие уравнения:
- ( \frac{900}{x - 900} \cdot 100 = p_1 ) (это уравнение выражает процент снижения для проводных наушников).
- ( \frac{900}{x} \cdot 100 = p_2 ) (для беспроводных наушников).
Из условия также сказано, что ( p_1 = p_2 + 5 ). Теперь подставим значения ( p_1 ) и ( p_2 ) из уравнений:
[
\frac{900}{x - 900} \cdot 100 = \frac{900}{x} \cdot 100 + 5.
]
Упростим это уравнение, сократив на 100:
[
\frac{900}{x - 900} = \frac{900}{x} + \frac{5}{100}.
]
Теперь приведем ( \frac{5}{100} ) к обыкновенной дроби:
[
\frac{900}{x - 900} = \frac{900}{x} + 0.05.
]
Теперь найдем общий знаменатель для правой части уравнения:
[
\frac{900}{x - 900} = \frac{900x + 0.05x(x - 900)}{x(x - 900)}.
]
Умножим обе стороны на ( x(x - 900) ):
[
900x = 900x + 0.05(x^2 - 900x).
]
Сокращая ( 900x ) с обеих сторон, мы получаем:
[
0 = 0.05x^2 - 45x.
]
Перепишем уравнение:
[
0.05x^2 - 45x = 0.
]
Выносим ( x ) за скобки:
[
x(0.05x - 45) = 0.
]
Это дает два решения: ( x = 0 ) или ( 0.05x - 45 = 0 ). Второе уравнение решим:
[
0.05x = 45 \implies x = \frac{45}{0.05} = 900.
]
Таким образом, первоначальная стоимость беспроводных наушников равна 900 рублей.
Ответ: 900 рублей.
