Проводные наушники стоят на 900 рублей дешевле беспроводных. Во время распродажи количество процентов, на которые снизилась цена проводных наушников, оказалось на 5 больше количества процентов, на которые снизилась цена беспроводных наушников. При этом и те и другие наушники подешевели на 900 рублей. Найдите первоначальную стоимость беспроводных наушников в рублях.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим переменные и запишем все условия, которые мы знаем. 1. Пусть \( x \) — первоначальная стоимость беспроводных наушников в рублях. 2. Тогда стоимость проводных наушников будет \( x - 900 \) рублей. 3. Обозначим процент, на который снизилась цена беспроводных наушников, как \( p \). 4. Соответственно, процент, на который снизилась цена проводных наушников, будет \( p + 5 \). Далее, так как обе модели наушников подешевели на 900 рублей, можем записать следующие уравнения для каждой модели наушников: - Для беспроводных наушников: \[ \frac{p}{100} \cdot x = 900 \] - Для проводных наушников: \[ \frac{p + 5}{100} \cdot (x - 900) = 900 \] Теперь, давайте выразим \( p \) из первого уравнения: \[ p = \frac{900 \cdot 100}{x} = \frac{90000}{x} \] Теперь подставим это значение \( p \) во второе уравнение: \[ \frac{\frac{90000}{x} + 5}{100} \cdot (x - 900) = 900 \] Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от дроби: \[ \left( \frac{90000}{x} + 5 \right)(x - 900) = 90000 \] Раскроем скобки: \[ \frac{90000}{x} \cdot (x - 900) + 5(x - 900) = 90000 \] Сначала найдем первый множитель: \[ \frac{90000x - 81000000}{x} \] То есть у нас получается: \[ 90000 - \frac{81000000}{x} + 5x - 4500 = 90000 \] Теперь упростим уравнение: \[ -\frac{81000000}{x} + 5x - 4500 = 0 \] Умножим всё на \( x \) (при условии, что \( x > 0 \)): \[ -81000000 + 5x^2 - 4500x = 0 \] Соберем все члены в одну сторону: \[ 5x^2 - 4500x - 81000000 = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 5 \), \( b = -4500 \), \( c = -81000000 \). Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-4500)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-81000000) \] \[ D = 20250000 + 1620000000 \] \[ D = 1640250000 \] Теперь подставим значение дискриминанта в формулу: \[ x = \frac{4500 \pm \sqrt{1640250000}}{10} \] \[ x = \frac{4500 \pm 40499.687}{10} \] Теперь найдем оба корня: 1. Первый корень: \[ x = \frac{4500 + 40499.687}{10} = \frac{45000}{10} = 4500 \] 2. Второй корень: \[ x = \frac{4500 - 40499.687}{10} = \frac{-36000}{10} = -3600 \quad (\text{отрицательное значение отбрасываем}) \] Таким образом, первоначальная стоимость беспроводных наушников составляет \( \boxed{4500} \) рублей.