Реши

Для решения задачи используем свойства секущей и касательной, проведенной из одной точки к окружности.

Дано:

• Секущая \( AB \) и касательная \( AD \), касательная \( AD \) больше 5.
• \( AB = 16 \)
• \( AC = AD - 3 \)

Необходимо найти: \( AD \).

Решение:

По теореме о секущей и касательной, проведенной из одной точки к окружности: \[ AD^2 = AB \times AC \]

Подставим известные значения: \[ AD^2 = 16 \times (AD - 3) \]

Раскроем скобки: \[ AD^2 = 16AD - 48 \]

Перенесем все в одну сторону: \[ AD^2 - 16AD + 48 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( AD^2 - 16AD + 48 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \times 1 \times 48 \] \[ D = 256 - 192 = 64 \]

Найдем корни: \[ AD_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2} \]

Получаем два решения: \[ AD_1 = \frac{24}{2} = 12 \] \[ AD_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Так как в условии сказано, что \( AD > 5 \), верным является \( AD = 12 \).

Ответ:

\( AD = 12 \).