Чтобы найти дисперсию выигрыша в лотерее, необходимо выполнить несколько шагов: рассчитать математическое ожидание (средний выигрыш), а затем использовать его для нахождения дисперсии. Давайте проделаем это шаг за шагом.
Шаг 1: Определение возможных выигрышей и их вероятностей
Выигрыши и их вероятности:
- Выигрыш 100 рублей, вероятность ( P(100) = 0.5 )
- Выигрыш 200 рублей, вероятность ( P(200) = 0.3 )
- Выигрыш 500 рублей, вероятность ( P(500) = 0.15 )
- Выигрыш 1000 рублей, вероятность ( P(1000) = 0.05 )
Шаг 2: Расчет математического ожидания (E)
Математическое ожидание ( E(X) ) рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
где ( x_i ) — это различные выигрыши, а ( P(x_i) ) — соответствующие вероятности.
Теперь подставляем наши данные:
[
E(X) = 100 \cdot 0.5 + 200 \cdot 0.3 + 500 \cdot 0.15 + 1000 \cdot 0.05
]
Выполним арифметические операции:
[
E(X) = 100 \cdot 0.5 = 50
]
[
E(X) = 200 \cdot 0.3 = 60
]
[
E(X) = 500 \cdot 0.15 = 75
]
[
E(X) = 1000 \cdot 0.05 = 50
]
Теперь складываем все эти результаты:
[
E(X) = 50 + 60 + 75 + 50 = 235
]
Таким образом, математическое ожидание выигрыша составляет 235 рублей.
Шаг 3: Расчет дисперсии (D)
Дисперсия рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
]
Сначала вычислим ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i))
]
Подсчитаем ( x_i^2 ) для каждого выигрыша:
- Для 100 рублей: ( 100^2 = 10000 )
- Для 200 рублей: ( 200^2 = 40000 )
- Для 500 рублей: ( 500^2 = 250000 )
- Для 1000 рублей: ( 1000^2 = 1000000 )
Теперь подставим в формулу для ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = 10000 \cdot 0.5 + 40000 \cdot 0.3 + 250000 \cdot 0.15 + 1000000 \cdot 0.05
]
Выполним расчёты:
[
E(X^2) = 10000 \cdot 0.5 = 5000
]
[
E(X^2) = 40000 \cdot 0.3 = 12000
]
[
E(X^2) = 250000 \cdot 0.15 = 37500
]
[
E(X^2) = 1000000 \cdot 0.05 = 50000
]
Сложим результаты:
[
E(X^2) = 5000 + 12000 + 37500 + 50000 = 104500
]
Шаг 4: Подсчет дисперсии
Теперь подставляем значения в формулу дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
]
Подставим найденные значения:
[
D(X) = 104500 - (235)^2
]
[
D(X) = 104500 - 55225 = 49275
]
Таким образом, дисперсия выигрыша в этой лотерее составляет 49275.
Ответ
Дисперсия выигрыша в лотерее составляет 49275 рублей.
