Представьте, что вы участвуете в лотерее, где можно выиграть 100, 200, 500 или 1000 рублей. Вероятности выигрыша соответственно равны 0,5; 0,3; 0,15; 0,05. Найдите дисперсию…

Чтобы найти дисперсию выигрыша в лотерее, необходимо выполнить несколько шагов: рассчитать математическое ожидание (средний выигрыш), а затем использовать его для нахождения дисперсии. Давайте проделаем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определение возможных выигрышей и их вероятностей

Выигрыши и их вероятности:

• Выигрыш 100 рублей, вероятность \( P(100) = 0.5 \)
• Выигрыш 200 рублей, вероятность \( P(200) = 0.3 \)
• Выигрыш 500 рублей, вероятность \( P(500) = 0.15 \)
• Выигрыш 1000 рублей, вероятность \( P(1000) = 0.05 \)

Шаг 2: Расчет математического ожидания (E)

Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]

где \( x_i \) — это различные выигрыши, а \( P(x_i) \) — соответствующие вероятности.

Теперь подставляем наши данные:

\[ E(X) = 100 \cdot 0.5 + 200 \cdot 0.3 + 500 \cdot 0.15 + 1000 \cdot 0.05 \]

Выполним арифметические операции:

\[ E(X) = 100 \cdot 0.5 = 50 \] \[ E(X) = 200 \cdot 0.3 = 60 \] \[ E(X) = 500 \cdot 0.15 = 75 \] \[ E(X) = 1000 \cdot 0.05 = 50 \]

Теперь складываем все эти результаты:

\[ E(X) = 50 + 60 + 75 + 50 = 235 \]

Таким образом, математическое ожидание выигрыша составляет 235 рублей.

Шаг 3: Расчет дисперсии (D)

Дисперсия рассчитывается по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

Сначала вычислим \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i)) \]

Подсчитаем \( x_i^2 \) для каждого выигрыша:

• Для 100 рублей: \( 100^2 = 10000 \)
• Для 200 рублей: \( 200^2 = 40000 \)
• Для 500 рублей: \( 500^2 = 250000 \)
• Для 1000 рублей: \( 1000^2 = 1000000 \)

Теперь подставим в формулу для \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = 10000 \cdot 0.5 + 40000 \cdot 0.3 + 250000 \cdot 0.15 + 1000000 \cdot 0.05 \]

Выполним расчёты:

\[ E(X^2) = 10000 \cdot 0.5 = 5000 \] \[ E(X^2) = 40000 \cdot 0.3 = 12000 \] \[ E(X^2) = 250000 \cdot 0.15 = 37500 \] \[ E(X^2) = 1000000 \cdot 0.05 = 50000 \]

Сложим результаты:

\[ E(X^2) = 5000 + 12000 + 37500 + 50000 = 104500 \]

Шаг 4: Подсчет дисперсии

Теперь подставляем значения в формулу дисперсии:

\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

Подставим найденные значения:

\[ D(X) = 104500 - (235)^2 \] \[ D(X) = 104500 - 55225 = 49275 \]

Таким образом, дисперсия выигрыша в этой лотерее составляет 49275.

Ответ

Дисперсия выигрыша в лотерее составляет 49275 рублей.