Чтобы решить задачу о количестве элементарных исходов для разных вариантов попаданий стрелка в мишень, будем использовать комбинаторный подход.
Предположим, что каждый выстрел можно считать независимым событием, совпадающим с результатом (попадание или промах). Мы будем использовать биномиальное распределение, где:
- ( n ) — общее количество выстрелов (в нашем случае ( n = 14 )),
- ( k ) — количество попаданий (то, что нам нужно найти),
- ( p ) — вероятность попадания в мишень.
В этой задаче мы не знаем вероятность попадания, однако, нам нужно лишь количество элементарных исходов, что можно выразить через биномиальные коэффициенты.
Формула для расчета количества сочетаний (биномиальный коэффициент) выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где:
- ( n! ) — факториал ( n ),
- ( k! ) — факториал ( k ),
- ( (n-k)! ) — факториал ( n-k ).
Теперь будем считать количество элементарных исходов для каждого случая.
а) Пять попаданий
Для пяти попаданий:
[
C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!}
]
Рассчитаем:
[
C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{240240}{120} = 2002
]
б) Девять попаданий
Для девяти попаданий:
[
C(14, 9) = \frac{14!}{9!(14-9)!} = \frac{14!}{9! \cdot 5!}
]
Так как ( C(n, k) = C(n, n-k) ), можно написать:
[
C(14, 9) = C(14, 5) = 2002
]
в) Одиннадцать попаданий
Для одиннадцати попаданий:
[
C(14, 11) = \frac{14!}{11!(14-11)!} = \frac{14!}{11! \cdot 3!}
]
Снова используя свойства биномиальных коэффициентов:
[
C(14, 11) = C(14, 3)
]
Теперь вычислим ( C(14, 3) ):
[
C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2184}{6} = 364
]
Ответ
Итак, количество элементарных исходов для указанных случаев:
- а) Пять попаданий: 2002
- б) Девять попаданий: 2002
- в) Одиннадцать попаданий: 364
