Стрелок 14 раз стреляет по мишени. Сколько элементарных исходов благоприятствует: а) пяти попаданиям; б) девяти попаданиям; в) одиннадцати попаданиям

Чтобы решить задачу о количестве элементарных исходов для разных вариантов попаданий стрелка в мишень, будем использовать комбинаторный подход.

Предположим, что каждый выстрел можно считать независимым событием, совпадающим с результатом (попадание или промах). Мы будем использовать биномиальное распределение, где:

• \( n \) — общее количество выстрелов (в нашем случае \( n = 14 \)),
• \( k \) — количество попаданий (то, что нам нужно найти),
• \( p \) — вероятность попадания в мишень.

В этой задаче мы не знаем вероятность попадания, однако, нам нужно лишь количество элементарных исходов, что можно выразить через биномиальные коэффициенты.

Формула для расчета количества сочетаний (биномиальный коэффициент) выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где:

• \( n! \) — факториал \( n \),
• \( k! \) — факториал \( k \),
• \( (n-k)! \) — факториал \( n-k \).

Теперь будем считать количество элементарных исходов для каждого случая.

а) Пять попаданий

Для пяти попаданий:

• \( n = 14 \), \( k = 5 \)

\[ C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!} \]

Рассчитаем:

\[ C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{240240}{120} = 2002 \]

б) Девять попаданий

Для девяти попаданий:

• \( n = 14 \), \( k = 9 \)

\[ C(14, 9) = \frac{14!}{9!(14-9)!} = \frac{14!}{9! \cdot 5!} \]

Так как \( C(n, k) = C(n, n-k) \), можно написать:

\[ C(14, 9) = C(14, 5) = 2002 \]

в) Одиннадцать попаданий

Для одиннадцати попаданий:

• \( n = 14 \), \( k = 11 \)

\[ C(14, 11) = \frac{14!}{11!(14-11)!} = \frac{14!}{11! \cdot 3!} \]

Снова используя свойства биномиальных коэффициентов:

\[ C(14, 11) = C(14, 3) \]

Теперь вычислим \( C(14, 3) \):

\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2184}{6} = 364 \]

Ответ

Итак, количество элементарных исходов для указанных случаев:

• а) Пять попаданий: 2002
• б) Девять попаданий: 2002
• в) Одиннадцать попаданий: 364