14/(х-5)2-2>0

Давайте решим неравенство \( \frac{14}{(x - 5)^2} - 2 > 0 \) и объясним каждый шаг. ### Шаг 1: Перепишем неравенство Для удобства можно сначала привести один вариант неравенства: \[ \frac{14}{(x - 5)^2} > 2 \] ### Шаг 2: Умножим обе части на \((x - 5)^2\) Так как \((x - 5)^2\) всегда положительно для всех \(x \neq 5\) (квадрат любого числа неотрицателен), мы можем умножить обе стороны неравенства на \((x - 5)^2\): \[ 14 > 2(x - 5)^2 \] ### Шаг 3: Упростим неравенство Теперь раскроем скобки и упростим правую часть: \[ 14 > 2(x^2 - 10x + 25) \] Умножим: \[ 14 > 2x^2 - 20x + 50 \] Теперь подведем все к одной стороне: \[ 0 > 2x^2 - 20x + 50 - 14 \] Упрощаем: \[ 0 > 2x^2 - 20x + 36 \] Или: \[ 2x^2 - 20x + 36 < 0 \] ### Шаг 4: Упростим уравнение Можно разделить все коэффициенты на 2: \[ x^2 - 10x + 18 < 0 \] ### Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения Теперь мы используем дискриминант, чтобы найти корни: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 100 - 72 = 28 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 5 \pm \sqrt{7} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 5 - \sqrt{7}, \quad x_2 = 5 + \sqrt{7} \] ### Шаг 6: Определим интервалы Корни делят числовую прямую на три интервала: 1. \( x < 5 - \sqrt{7} \) 2. \( 5 - \sqrt{7} < x < 5 + \sqrt{7} \) 3. \( x > 5 + \sqrt{7} \) ### Шаг 7: Выбор знака Чтобы определить, где неравенство \(x^2 - 10x + 18 < 0\) выполняется, протестируем каждую из полученных областей, подставив в неравенство любое число из этих интервалов. - Для \(x < 5 - \sqrt{7}\): выберем \(x = 0\) \(0^2 - 10 \cdot 0 + 18 = 18 > 0\) (тут не работает) - Для \(5 - \sqrt{7} < x < 5 + \sqrt{7}\): выберем \(x = 5\): \(5^2 - 10 \cdot 5 + 18 = 18 - 50 + 18 = -14 < 0\) (это работает) - Для \(x > 5 + \sqrt{7}\): выберем \(x = 10\): \(10^2 - 10 \cdot 10 + 18 = 18 > 0\) (тут не работает) ### Шаг 8: Запишем ответ Таким образом, неравенство \( \frac{14}{(x - 5)^2} - 2 > 0 \) выполняется в интервале: \[ \boxed{(5 - \sqrt{7}, 5 + \sqrt{7})} \] Это и будет нашим ответом.