Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае:

• \( n = 16 \) (общее количество ламп),
• \( k = 3 \) (количество перегоревших ламп),
• \( p = 0.3 \) (вероятность перегорания каждой лампы),
• \( q = 1 - p = 0.7 \) (вероятность, что лампа не перегорит).

Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \]

где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Теперь подставляем наши значения:

1. Вычисляем биномиальный коэффициент: \[ \binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = \frac{3360}{6} = 560. \]

2. Подставляем значения в формулу вероятности: \[ P(X = 3) = \binom{16}{3} \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3}. \] Теперь вычислим каждую часть:

   • \( (0.3)^3 = 0.027 \),
   • \( (0.7)^{13} \approx 0.002248 \) (можно использовать калькулятор или таблицы для более точного результата).

3. Теперь подставляем все значения: \[ P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.002248. \] Умножаем: \[ 560 \cdot 0.027 \approx 15.120, \] \[ 15.120 \cdot 0.002248 \approx 0.0340. \]

Таким образом, вероятность того, что в конце года перегорят ровно три лампы, составляет примерно 0.034. Округлив до тысячных, получаем:

Ответ: 0.034.