Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в конце года перегорят ровно три лампы. Ответ округлите до тысячных.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае: - \( n = 16 \) (общее количество ламп), - \( k = 3 \) (количество перегоревших ламп), - \( p = 0.3 \) (вероятность перегорания каждой лампы), - \( q = 1 - p = 0.7 \) (вероятность, что лампа не перегорит). Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \] где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \] Теперь подставляем наши значения: 1. Вычисляем биномиальный коэффициент: \[ \binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = \frac{3360}{6} = 560. \] 2. Подставляем значения в формулу вероятности: \[ P(X = 3) = \binom{16}{3} \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3}. \] Теперь вычислим каждую часть: - \( (0.3)^3 = 0.027 \), - \( (0.7)^{13} \approx 0.002248 \) (можно использовать калькулятор или таблицы для более точного результата). 3. Теперь подставляем все значения: \[ P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.002248. \] Умножаем: \[ 560 \cdot 0.027 \approx 15.120, \] \[ 15.120 \cdot 0.002248 \approx 0.0340. \] Таким образом, вероятность того, что в конце года перегорят ровно три лампы, составляет примерно 0.034. Округлив до тысячных, получаем: **Ответ:** 0.034.