Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…

Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального распределения. В данной задаче у нас есть:

• Общее количество ламп: \( n = 16 \)
• Вероятность перегорания каждой лампы: \( p = 0.3 \)
• Количество ламп, которые перегорят: \( k = 3 \)

Формула для нахождения вероятности того, что из \( n \) испытаний произойдет ровно \( k \) успехов (в нашем случае — перегорание ламп) описывается следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p^k \) — вероятность успешного исхода \( k \) раз
• \( (1-p)^{n-k} \) — вероятность неуспешного исхода \( n-k \) раз

Шаг 1: Вычисляем биномиальный коэффициент

Для \( n = 16 \) и \( k = 3 \):

\[ \binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3360}{6} = 560 \]

Шаг 2: Подставляем значения в формулу

Теперь заменяем значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 3) = \binom{16}{3} \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3} \]

Шаг 3: Вычисляем вероятности

1. Вычисляем \( (0.3)^3 \):

\[ (0.3)^3 = 0.027 \]

2. Вычисляем \( (0.7)^{13} \):

\[ (0.7)^{13} \approx 0.031676352 \]

Шаг 4: Подставляем результаты в формулу

Теперь подставим все части в формулу:

\[ P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.031676352 \]

Шаг 5: Вычисляем окончательную вероятность

Теперь проведем умножение:

\[ P(X = 3) \approx 560 \cdot 0.027 \cdot 0.031676352 \approx 0.485 \cdot 0.031676352 \approx 0.015354 \]

Итог

Ответ округлённый до тысячных:

\[ P(X = 3) \approx 0.015 \]

Таким образом, вероятность того, что перегорят ровно три лампы в конце года, составляет aproximadamente 0.015.