Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального распределения. В данной задаче у нас есть:
- Общее количество ламп: ( n = 16 )
- Вероятность перегорания каждой лампы: ( p = 0.3 )
- Количество ламп, которые перегорят: ( k = 3 )
Формула для нахождения вероятности того, что из ( n ) испытаний произойдет ровно ( k ) успехов (в нашем случае — перегорание ламп) описывается следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p^k ) — вероятность успешного исхода ( k ) раз
- ( (1-p)^{n-k} ) — вероятность неуспешного исхода ( n-k ) раз
Шаг 1: Вычисляем биномиальный коэффициент
Для ( n = 16 ) и ( k = 3 ):
[
\binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3360}{6} = 560
]
Шаг 2: Подставляем значения в формулу
Теперь заменяем значения в формулу вероятности:
[
P(X = 3) = \binom{16}{3} \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{16-3}
]
Шаг 3: Вычисляем вероятности
- Вычисляем ( (0.3)^3 ):
[
(0.3)^3 = 0.027
]
- Вычисляем ( (0.7)^{13} ):
[
(0.7)^{13} \approx 0.031676352
]
Шаг 4: Подставляем результаты в формулу
Теперь подставим все части в формулу:
[
P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.031676352
]
Шаг 5: Вычисляем окончательную вероятность
Теперь проведем умножение:
[
P(X = 3) \approx 560 \cdot 0.027 \cdot 0.031676352 \approx 0.485 \cdot 0.031676352 \approx 0.015354
]
Итог
Ответ округлённый до тысячных:
[
P(X = 3) \approx 0.015
]
Таким образом, вероятность того, что перегорят ровно три лампы в конце года, составляет aproximadamente 0.015.
