Конечно! Давайте разберём, как вычислить выражение:
[
\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}
]
Нашей целью является приведение выражения к более простому виду и, если возможно, его упрощение.
Шаг 1: Найдите общий знаменатель
Воспользуемся свойством, что знаменатель может быть приведён к виду разности квадратов:
[
(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2
]
Посчитаем это:
[
7^2 = 49
]
[
(4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48
]
Так что:
[
49 - 48 = 1
]
Шаг 2: Преобразуйте выражение
Теперь можно преобразовать наше выражение:
[
\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})}
]
Шаг 3: Упростите выражение
Сложим числители:
[
(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 7 + 7 = 14
]
Таким образом, число в числителе:
[
\frac{14}{1} = 14
]
Результат
Таким образом, значение выражения:
[
\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = 14
]
Это окончательный и упрощённый результат.
