Решите систему неравенств: {х-6≥0, х²-2х-3≤0

Чтобы решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x - 6 \geq 0 \\ x^2 - 2x - 3 \leq 0 \end{cases} \]

начнем по порядку, рассматривая каждое неравенство отдельно.

Неравенство 1: \( x - 6 \geq 0 \)

1. Переносим 6 на другую сторону: \[ x \geq 6 \] Это означает, что значение \( x \) должно быть больше или равно 6.

Неравенство 2: \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \)

1. Решаем уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Для нашего уравнения \( a = 1, b = -2, c = -3 \).

   Подставим значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

   Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

2. Теперь найдем интервалы для этого неравенства: \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) меняет знак в корнях, т.е. на интервалах:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Проверяем знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \) (положительно)
   • Для \( -1 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 2(0) - 3 = -3 \) (отрицательно)
   • Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \) (положительно)

   Таким образом, \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-1, 3] \).

Находим пересечение решений:

Теперь у нас есть два условия:

1. \( x \geq 6 \)
2. \( x \in [-1, 3] \)

Проверяем пересечение:

Пересечение \( [6, +\infty) \) и \( [-1, 3] \) пустое множество, т.е. между двумя интервалами нет общих значений.

Ответ:

Система неравенств не имеет решений. Значит, нет значений \( x \), которые бы удовлетворяли обоим неравенствам одновременно.