Решите систему неравенств: {х-6≥0, х²-2х-3≤0

Чтобы решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x - 6 \geq 0 \\ x^2 - 2x - 3 \leq 0 \end{cases} \] начнем по порядку, рассматривая каждое неравенство отдельно. ### Неравенство 1: \( x - 6 \geq 0 \) 1. **Переносим 6 на другую сторону**: \[ x \geq 6 \] Это означает, что значение \( x \) должно быть больше или равно 6. ### Неравенство 2: \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) 1. **Решаем уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)** с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Для нашего уравнения \( a = 1, b = -2, c = -3 \). Подставим значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] 2. **Теперь найдем интервалы для этого неравенства**: \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) меняет знак в корнях, т.е. на интервалах: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 3) \) - \( (3, +\infty) \) 3. **Проверяем знаки на каждом интервале**: - Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \) (положительно) - Для \( -1 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 2(0) - 3 = -3 \) (отрицательно) - Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \) (положительно) Таким образом, \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-1, 3] \). ### Находим пересечение решений: Теперь у нас есть два условия: 1. \( x \geq 6 \) 2. \( x \in [-1, 3] \) ### Проверяем пересечение: Пересечение \( [6, +\infty) \) и \( [-1, 3] \) пустое множество, т.е. между двумя интервалами нет общих значений. ### Ответ: Система неравенств не имеет решений. Значит, нет значений \( x \), которые бы удовлетворяли обоим неравенствам одновременно.