Решите систему неравенств 2х-3≥0, х²-4х-5≤0.

Чтобы решить систему неравенств:

1. \(2x - 3 \geq 0\)
2. \(x^2 - 4x - 5 \leq 0\)

начнём по порядку.

Шаг 1: Решение первого неравенства

Решим неравенство \(2x - 3 \geq 0\).

1. Переносим 3 на правую сторону: \[ 2x \geq 3 \]

2. Делим обе стороны на 2 (поскольку 2 положительное число, знак неравенства не меняется): \[ x \geq \frac{3}{2} \]

Шаг 2: Решение второго неравенства

Теперь рассмотрим неравенство \(x^2 - 4x - 5 \leq 0\).

1. Сначала найдём корни уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

2. Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]

3. У нас есть два корня: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\). Поскольку это квадратное неравенство, оно принимает значение ≤ 0 на промежутке между корнями. Мы проверим знаки на интервалах:

• Для интервала \((-∞, -1)\) (например, подставим \(x = -2\)): \[ (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \]

• Для интервала \((-1, 5)\) (например, подставим \(x = 0\)): \[ 0^2 - 4(0) - 5 = -5 < 0 \]

• Для интервала \((5, ∞)\) (например, подставим \(x = 6\)): \[ 6^2 - 4 \cdot 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \]

Таким образом, второе неравенство выполняется на интервале \([-1, 5]\).

Шаг 3: Объединение решений

Теперь нам нужно объединить результаты двух неравенств:

1. Первое неравенство даёт: \(x \geq \frac{3}{2}\)
2. Второе неравенство даёт: \(-1 \leq x \leq 5\)

Требуется найти пересечение:

• \(x \geq \frac{3}{2}\) (то есть \(x \in [1.5, +∞)\))
• \(-1 \leq x \leq 5\) (то есть \(x \in [-1, 5]\))

Пересечение этих интервалов даёт: \[ x \in [\frac{3}{2}, 5] \]

Ответ

Следовательно, решение системы неравенств: \[ \boxed{[\frac{3}{2}, 5]} \]