В треугольнике M N K MNK угол N N равен 9 0 ∘ 90 ∘ , N K = 7 NK=7 , M K = 25 MK=25 . Найди cos ∠ K cos∠K .
Для решения задачи на нахождение значения косинуса угла в прямоугольном треугольнике, давайте сначала визуализируем задачу.
У нас есть прямоугольный треугольник \( \triangle MNK \), где угол \( N \) равен \( 90^\circ \). Известные стороны:
- \( NK = 7 \) (катет, противолежащий углу \( K \))
- \( MK = 25 \) (гипотенуза)
Нам нужно найти \( \cos \angle K \).
Шаг 1: Нахождение длины второго катета \( MN \)
Мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где \( c \) — гипотенуза, а \( a \) и \( b \) — катеты.
В нашем случае:
- \( c = MK = 25 \)
- \( a = NK = 7 \) (один из катетов)
- Мы ищем \( b = MN \) (другой катет)
Подставляем значения в теорему Пифагора:
\[ 25^2 = 7^2 + MN^2 \]
Шаг 2: Решаем уравнение
Сначала вычислим \( 25^2 \) и \( 7^2 \):
\[ 625 = 49 + MN^2 \]
Теперь мы можем выразить \( MN^2 \):
\[ MN^2 = 625 - 49 = 576 \]
Теперь находим длину \( MN \):
\[ MN = \sqrt{576} = 24 \]
Шаг 3: Нахождение \( \cos \angle K \)
Now that we have both the lengths of the legs of the triangle (\( NK \) and \( MN \)), we can find \( \cos \angle K \).
По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
\[ \cos \angle K = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MN}{MK} \]
Подставим известные значения:
\[ \cos \angle K = \frac{24}{25} \]
Ответ:
Таким образом, значение \( \cos \angle K \) равно:
\[ \cos \angle K = \frac{24}{25} \]
Это и есть искомый ответ.
