Для решения задачи на нахождение значения косинуса угла в прямоугольном треугольнике, давайте сначала визуализируем задачу.
У нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle MNK ), где угол ( N ) равен ( 90^\circ ). Известные стороны:
- ( NK = 7 ) (катет, противолежащий углу ( K ))
- ( MK = 25 ) (гипотенуза)
Нам нужно найти ( \cos \angle K ).
Шаг 1: Нахождение длины второго катета ( MN )
Мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где ( c ) — гипотенуза, а ( a ) и ( b ) — катеты.
В нашем случае:
- ( c = MK = 25 )
- ( a = NK = 7 ) (один из катетов)
- Мы ищем ( b = MN ) (другой катет)
Подставляем значения в теорему Пифагора:
[
25^2 = 7^2 + MN^2
]
Шаг 2: Решаем уравнение
Сначала вычислим ( 25^2 ) и ( 7^2 ):
[
625 = 49 + MN^2
]
Теперь мы можем выразить ( MN^2 ):
[
MN^2 = 625 - 49 = 576
]
Теперь находим длину ( MN ):
[
MN = \sqrt{576} = 24
]
Шаг 3: Нахождение ( \cos \angle K )
Now that we have both the lengths of the legs of the triangle (( NK ) and ( MN )), we can find ( \cos \angle K ).
По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
[
\cos \angle K = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MN}{MK}
]
Подставим известные значения:
[
\cos \angle K = \frac{24}{25}
]
Ответ:
Таким образом, значение ( \cos \angle K ) равно:
[
\cos \angle K = \frac{24}{25}
]
Это и есть искомый ответ.
