7x^2-2x+48=0

Давайте решим уравнение \( 7x^2 - 2x + 48 = 0 \) и подробно объясним все шаги.

Шаг 1: Определение коэффициентов

Это квадратное уравнение имеет следующую общую форму: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] где:

• \( a = 7 \)
• \( b = -2 \)
• \( c = 48 \)

Шаг 2: Вычисление дискриминанта

Чтобы решить квадратное уравнение, сначала вычислим дискриминант \( D \) по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 \] \[ D = 4 - 1344 \] \[ D = 4 - 1344 = -1340 \]

Шаг 3: Анализ дискриминанта

Дискриминант \( D \) равен -1340, что меньше нуля. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней. У него есть два комплексных корня.

Шаг 4: Вычисление корней

Формула для нахождения корней комплексных чисел выглядит следующим образом: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Так как \( D \) отрицателен, мы будем использовать комплексное число \( i \) (где \( i^2 = -1 \)) для извлечения квадратного корня из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-1340} = i\sqrt{1340} \] Теперь вычислим \( \sqrt{1340} \). Упрощаем его: \[ 1340 = 4 \cdot 335 \] Поскольку \( \sqrt{4} = 2 \), имеем: \[ \sqrt{1340} = 2\sqrt{335} \]

Шаг 5: Подстановка в формулу корней

Теперь подставим значения в формулу для корней: \[ x = \frac{-(-2) \pm 2i\sqrt{335}}{2 \cdot 7} \] \[ x = \frac{2 \pm 2i\sqrt{335}}{14} \] Упрощаем это выражение: \[ x = \frac{1 \pm i\sqrt{335}}{7} \]

Заключение

Таким образом, корни уравнения \( 7x^2 - 2x + 48 = 0 \) являются комплексными числами: \[ x_1 = \frac{1 + i\sqrt{335}}{7}, \quad x_2 = \frac{1 - i\sqrt{335}}{7} \]

Это означает, что у данного уравнения нет действительных решений.