при каком условии для неколлинеарных векторов а и b будет выполнено неравенство |a+b|<|а-b|
Для решения задачи рассмотрим неколлинеарные векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Мы должны выяснить, при каких условиях выполняется неравенство:
\[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \]
Шаг 1: Используем свойства векторов
Сначала вспомним, что для любых векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) есть такая неравенство:
\[ |\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 + 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \]
и
\[ |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \]
где \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) — это скалярное произведение векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \).
Шаг 2: Применяем к неравенству
Теперь применим указанные формулы к нашему неравенству. Сначала возведем в квадрат обе стороны:
\[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 < |\mathbf{a} - \mathbf{b}|^2 \]
Подставим выражения для квадратов:
\[ |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \]
Шаг 3: Упрощаем неравенство
Сократим \( |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 \) с обеих сторон:
\[ 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < -2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \]
Теперь сложим \( 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) к обеим частям:
\[ 4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \]
Это неравенство говорит нам, что скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) должно быть отрицательным:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \]
Шаг 4: Смысл результата
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Если оно отрицательное, это значит, что угол между векторами больше 90 градусов, то есть:
Вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) должны образовывать угол больше 90 градусов для выполнения неравенства:
\[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \]
Заключение
Таким образом, условие, при котором выполняется неравенство \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \), заключается в том, что \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) должны образовывать угол больше 90 градусов (то есть \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \)).
