При каком условии для неколлинеарных векторов а и b будет выполнено неравенство |a+b|<|а-b|

Для решения задачи рассмотрим неколлинеарные векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Мы должны выяснить, при каких условиях выполняется неравенство: \[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \] ### Шаг 1: Используем свойства векторов Сначала вспомним, что для любых векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) есть такая неравенство: \[ |\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 + 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \] и \[ |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \] где \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) — это скалярное произведение векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \). ### Шаг 2: Применяем к неравенству Теперь применим указанные формулы к нашему неравенству. Сначала возведем в квадрат обе стороны: \[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 < |\mathbf{a} - \mathbf{b}|^2 \] Подставим выражения для квадратов: \[ |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \] ### Шаг 3: Упрощаем неравенство Сократим \( |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 \) с обеих сторон: \[ 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < -2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \] Теперь сложим \( 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) к обеим частям: \[ 4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \] Это неравенство говорит нам, что скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) должно быть отрицательным: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \] ### Шаг 4: Смысл результата Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Если оно отрицательное, это значит, что угол между векторами больше 90 градусов, то есть: Вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) должны образовывать угол больше 90 градусов для выполнения неравенства: \[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \] ### Заключение Таким образом, условие, при котором выполняется неравенство \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| < |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \), заключается в том, что \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) должны образовывать угол больше 90 градусов (то есть \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 \)).