Давайте разберём каждую задачу по порядку:
Задача 5: Находим координаты точек пересечения прямых
У нас есть две прямые:
- ( 8x - y = 17 )
- ( 3x + 2y = 25 )
Шаг 1: Упрощаем уравнения
Чтобы решить систему уравнений, давайте сначала упростим каждое из них.
Первое уравнение:
[
y = 8x - 17
]
Второе уравнение:
Для второго уравнения выразим (y):
[
2y = 25 - 3x \implies y = \frac{25 - 3x}{2}
]
Шаг 2: Подставляем одно уравнение в другое
Теперь будем подставлять (y) из первого уравнения во второе:
[
8x - 17 = \frac{25 - 3x}{2}
]
Шаг 3: Умножаем на 2, чтобы избавиться от дроби
Умножим всё на 2:
[
2(8x - 17) = 25 - 3x
]
[
16x - 34 = 25 - 3x
]
Шаг 4: Переносим все (x) в одну сторону и свободные члены в другую
[
16x + 3x = 25 + 34
]
[
19x = 59
]
[
x = \frac{59}{19} = 3.1
]
Шаг 5: Находим (y)
Теперь находим (y) подставив (x) в любое из уравнений, например, в первое:
[
y = 8 \cdot 3.1 - 17 = 24.8 - 17 = 7.8
]
Ответ: Координаты точки пересечения: (\left(3.1, 7.8\right)).
Задача 6: Уравнение окружности с центром в точке (M(-1, 2)) и проходящей через точку (B(3, -5))
Шаг 1: Находим радиус
Радиус окружности — это расстояние от центра до точки на окружности:
[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Где:
- ( (x_1, y_1) = (-1, 2) )
- ( (x_2, y_2) = (3, -5) )
Подставляем значения:
[
r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}
]
Шаг 2: Записываем уравнение окружности
Уравнение окружности с центром в точке (M(x_0, y_0)) и радиусом (r) имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
Подставляем (x_0 = -1), (y_0 = 2) и (r^2 = 65):
[
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65
]
Ответ: Уравнение окружности: ((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65).
Задача 7: Уравнение прямой, проходящей через точку (A(4, -2)) и параллельной прямой (y = 3x + 6)
Шаг 1: Определяем угловой коэффициент
Прямая, параллельная заданной, будет иметь тот же угловой коэффициент. Угловой коэффициент данной прямой равен 3.
Шаг 2: Используем точку и угловой коэффициент для нахождения уравнения
Уравнение прямой можно записать в виде:
[
y - y_1 = m(x - x_1)
]
где:
- (m = 3), (x_1 = 4), (y_1 = -2).
Подставим данные:
[
y - (-2) = 3(x - 4)
]
[
y + 2 = 3x - 12
]
[
y = 3x - 14
]
Ответ: Уравнение прямой: (y = 3x - 14).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно детализировать какое-то решение, дайте знать!
