Для решения данной задачи нам нужно найти отношение объемов шара и цилиндра, где диаметр шара равен высоте цилиндра, а осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.
Шаг 1: Определим параметры
- Диаметр шара ( D ) равен высоте цилиндра ( h ).
- Обозначим радиус шара ( R ). Тогда диаметр ( D = 2R ).
- Высота цилиндра ( h = D = 2R ).
Шаг 2: Найдем объем шара
Формула объема шара ( V_{\text{шар}} ) выражается как:
[
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3
]
Шаг 3: Найдем объем цилиндра
Для цилиндра мы знаем, что осевое сечение — квадрат. Это означает, что основание цилиндра имеет стороны, равные высоте ( h ).
Сторона квадрата в основании равна высоте ( h ). Поскольку высота равна диаметру шара, у нас:
[
a = h = 2R
]
Формула объема цилиндра ( V_{\text{цилиндр}} ) выражается как:
[
V_{\text{цилиндр}} = \text{площадь основания} \times \text{высота} = a^2 \times h
]
где ( a ) — сторона основания. Подставив значение, получим:
[
V_{\text{цилиндр}} = (2R)^2 \times (2R) = 4R^2 \times 2R = 8R^3
]
Шаг 4: Найдем отношение объемов
Теперь у нас есть формулы для объемов шара и цилиндра:
- Объем шара: ( V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3 )
- Объем цилиндра: ( V_{\text{цилиндр}} = 8R^3 )
Теперь найдем отношение объемов:
[
\text{Отношение} = \frac{V_{\text{шар}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{8R^3}
]
Поскольку ( R^3 ) в числителе и знаменателе сокращаются, получаем:
[
\text{Отношение} = \frac{\frac{4}{3} \pi}{8} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}
]
Ответ
Отношение объемов шара и цилиндра равно ( \frac{\pi}{6} ).
