Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть процесс последовательных независимых испытаний с фиксированной вероятностью успеха и неуспеха. Мы будем использовать вероятность успеха ( p ) и вероятность неуспеха ( q = 1 - p ).
Нам нужно найти вероятность того, что первый успех произойдёт не позже третьего испытания. Это означает, что успех может произойти на первом, втором или третьем испытании.
Теперь давайте рассмотрим каждый из этих случаев:
Успех в первом испытании:
- Вероятность ( P(A_1) = p ).
Успех во втором испытании:
- Чтобы получить успех во втором испытании, первое испытание должно быть неуспешным, а второе - успешным.
- Вероятность ( P(A_2) = q \cdot p = (1 - p) \cdot p ).
Успех в третьем испытании:
- Чтобы получить успех в третьем испытании, первые два испытания должны быть неуспешными, а третье - успешным.
- Вероятность ( P(A_3) = q \cdot q \cdot p = (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot p = q^2 \cdot p ).
Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что успех произойдёт не позже третьего испытания, мы можем сложить вероятности этих трёх событий:
[
P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)
]
Подставим найденные вероятности:
[
P(A) = p + (1 - p) \cdot p + (1 - p)^2 \cdot p
]
Теперь упростим эту формулу:
[
P(A) = p + p(1 - p) + p(1 - p)^2
]
[
P(A) = p + p(1 - p) + p(1 - 2p + p^2)
]
[
P(A) = p + p(1 - p) + p(1 - 2p + p^2) = p + p - p^2 + p - 2p^2 + p^3
]
Теперь объединим все члены:
[
P(A) = 3p - 3p^2 + p^3
]
Таким образом, вероятность события, что успех произойдёт не позже третьего испытания, выражается через ( p ):
[
P(A) = p(3 - 3p + p^2)
]
Это окончательное выражение вероятности. Если необходимо, то можно дополнительно аккуратно преобразовать, чтобы получить другие подходящие формы, но основная цель достигнута: мы нашли нужную вероятность.
