Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- В первый день Андрей занимается на беговой дорожке 15 минут.
- На каждом следующем занятии он увеличивает время на 7 минут.
- Необходимо определить, через сколько занятий Андрей проведет на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 35 минут.
Переведем время в минуты:
Сначала переведем 2 часа 35 минут в минуты.
1 час = 60 минут.
Поэтому:
[
2 \text{ часа} = 2 \times 60 = 120 \text{ минут}
]
Теперь добавим 35 минут:
[
120 + 35 = 155 \text{ минут}
]
Таким образом, мы хотим узнать, сколько занятий потребуется Андрею, чтобы провести 155 минут на беговой дорожке.
Определим последовательность:
- В первый день он бегает 15 минут.
- Во второй день: ( 15 + 7 = 22 ) минуты.
- В третий день: ( 22 + 7 = 29 ) минут.
- В четвёртый день: ( 29 + 7 = 36 ) минут.
- И так далее.
Можно заметить, что время, проведенное на беговой дорожке, образует арифметическую прогрессию, где:
- Первый член (a) = 15
- Разность (d) = 7
- Количество членов (n) – это то количество занятий, которое мы ищем.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)d)
]
где ( S_n ) – искомая сумма (в нашем случае 155 минут), ( a ) – первый член, ( d ) – разность, ( n ) – количество членов.
Подставим известные значения:
[
155 = \frac{n}{2} \times (2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 7)
]
Упростим уравнение:
[
155 = \frac{n}{2} \times (30 + 7n - 7)
]
[
155 = \frac{n}{2} \times (7n + 23)
]
Умножим обе стороны на 2:
[
310 = n(7n + 23)
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
7n^2 + 23n - 310 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-310) = 529 + 8680 = 9209
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
n = \frac{-23 \pm \sqrt{9209}}{2 \cdot 7}
]
Посчитаем корень:
(\sqrt{9209} \approx 96.06).
Теперь подставим:
[
n = \frac{-23 \pm 96.06}{14}
]
Рассмотрим только положительное значение:
[
n = \frac{73.06}{14} \approx 5.22
]
Так как количество занятий n должно быть целым числом, закруглим до ближайшего целого числа. Таким образом, надо проверить, сколько времени потребуется при 5 и 6 занятиях.
Проверка:
Для n = 5:
[
S_5 = \frac{5}{2} \times (30 + 28) = \frac{5}{2} \times 58 = 145 \text{ минут}
]
Для n = 6:
[
S_6 = \frac{6}{2} \times (30 + 35) = 3 \times 65 = 195 \text{ минут}
]
А значит, 5 занятий, к сожалению, дают 145 минут, что меньше 155 минут. А 6 занятий дают 195 минут, что больше.
Тогда ответ будет:
Андрей проведет на беговой дорожке 155 минут по истечении 6 занятий.
