Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведенное на беговой дорожке, на 7минут.…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

• В первый день Андрей занимается на беговой дорожке 15 минут.
• На каждом следующем занятии он увеличивает время на 7 минут.
• Необходимо определить, через сколько занятий Андрей проведет на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 35 минут.

Переведем время в минуты:

Сначала переведем 2 часа 35 минут в минуты.

1 час = 60 минут.
Поэтому: \[ 2 \text{ часа} = 2 \times 60 = 120 \text{ минут} \] Теперь добавим 35 минут: \[ 120 + 35 = 155 \text{ минут} \]

Таким образом, мы хотим узнать, сколько занятий потребуется Андрею, чтобы провести 155 минут на беговой дорожке.

Определим последовательность:

• В первый день он бегает 15 минут.
• Во второй день: \( 15 + 7 = 22 \) минуты.
• В третий день: \( 22 + 7 = 29 \) минут.
• В четвёртый день: \( 29 + 7 = 36 \) минут.
• И так далее.

Можно заметить, что время, проведенное на беговой дорожке, образует арифметическую прогрессию, где:

• Первый член (a) = 15
• Разность (d) = 7
• Количество членов (n) – это то количество занятий, которое мы ищем.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)d) \] где \( S_n \) – искомая сумма (в нашем случае 155 минут), \( a \) – первый член, \( d \) – разность, \( n \) – количество членов.

Подставим известные значения:

\[ 155 = \frac{n}{2} \times (2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 7) \] Упростим уравнение: \[ 155 = \frac{n}{2} \times (30 + 7n - 7) \] \[ 155 = \frac{n}{2} \times (7n + 23) \] Умножим обе стороны на 2: \[ 310 = n(7n + 23) \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 7n^2 + 23n - 310 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-310) = 529 + 8680 = 9209 \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ n = \frac{-23 \pm \sqrt{9209}}{2 \cdot 7} \]

Посчитаем корень: \(\sqrt{9209} \approx 96.06\).

Теперь подставим: \[ n = \frac{-23 \pm 96.06}{14} \] Рассмотрим только положительное значение: \[ n = \frac{73.06}{14} \approx 5.22 \]

Так как количество занятий n должно быть целым числом, закруглим до ближайшего целого числа. Таким образом, надо проверить, сколько времени потребуется при 5 и 6 занятиях.

Проверка:

1. Для n = 5: \[ S_5 = \frac{5}{2} \times (30 + 28) = \frac{5}{2} \times 58 = 145 \text{ минут} \]

2. Для n = 6: \[ S_6 = \frac{6}{2} \times (30 + 35) = 3 \times 65 = 195 \text{ минут} \]

А значит, 5 занятий, к сожалению, дают 145 минут, что меньше 155 минут. А 6 занятий дают 195 минут, что больше.

Тогда ответ будет: Андрей проведет на беговой дорожке 155 минут по истечении 6 занятий.