производная сложной функции у=корень 2+8х

Чтобы найти производную функции \( y = \sqrt{2 + 8x} \), мы будем использовать правило цепной производной. Давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Определите функцию

У нас есть функция вида \( y = f(g(x)) \), где:

• Внешняя функция \( f(u) = \sqrt{u} \)
• Внутренняя функция \( g(x) = 2 + 8x \)

Шаг 2: Найдите производные функций

1. Найдем производную внешней функции \( f(u) \):

\[ f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

2. Найдем производную внутренней функции \( g(x) \):

\[ g'(x) = 8 \]

Шаг 3: Примените правило цепной производной

По правилу цепной производной:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Теперь, подставим наши производные в формулу:

1. Сначала подставим \( g(x) \):

\[ f'(g(x)) = f'(2 + 8x) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 8x}} \]

2. Теперь подставим это в формулу производной:

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 8x}} \cdot 8 \]

Шаг 4: Упростите результат

Упростим:

\[ y' = \frac{8}{2\sqrt{2 + 8x}} = \frac{4}{\sqrt{2 + 8x}} \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( y = \sqrt{2 + 8x} \) равна:

\[ y' = \frac{4}{\sqrt{2 + 8x}} \]

Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!