Чтобы найти производную функции ( y = \sqrt{2 + 8x} ), мы будем использовать правило цепной производной. Давайте пройдемся по шагам.
Шаг 1: Определите функцию
У нас есть функция вида ( y = f(g(x)) ), где:
- Внешняя функция ( f(u) = \sqrt{u} )
- Внутренняя функция ( g(x) = 2 + 8x )
Шаг 2: Найдите производные функций
- Найдем производную внешней функции ( f(u) ):
[
f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}
]
- Найдем производную внутренней функции ( g(x) ):
[
g'(x) = 8
]
Шаг 3: Примените правило цепной производной
По правилу цепной производной:
[
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
]
Теперь, подставим наши производные в формулу:
- Сначала подставим ( g(x) ):
[
f'(g(x)) = f'(2 + 8x) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 8x}}
]
- Теперь подставим это в формулу производной:
[
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 8x}} \cdot 8
]
Шаг 4: Упростите результат
Упростим:
[
y' = \frac{8}{2\sqrt{2 + 8x}} = \frac{4}{\sqrt{2 + 8x}}
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( y = \sqrt{2 + 8x} ) равна:
[
y' = \frac{4}{\sqrt{2 + 8x}}
]
Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
