Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно, что сумма первых четырнадцати членов равна -420, а её разность равна 12.

Чтобы решить задачу, давайте вспомним, что арифметическая прогрессия (АП) характеризуется своим первым членом \( a_1 \) и разностью \( d \). Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d) \]

Где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( n \) — количество членов (в данном случае \( n = 14 \)),
• \( a_1 \) — первый член,
• \( d \) — разность.

В данной задаче у нас \( S_{14} = -420 \) и \( d = 12 \).

Теперь подставим известные значения в формулу для суммы:

\[ -420 = \frac{14}{2} \cdot (2a_1 + (14 - 1) \cdot 12) \]

Упрощая:

\[ -420 = 7 \cdot (2a_1 + 13 \cdot 12) \]

Посчитаем \( 13 \cdot 12 \):

\[ 13 \cdot 12 = 156 \]

Теперь у нас получается:

\[ -420 = 7 \cdot (2a_1 + 156) \]

Разделим обе стороны уравнения на 7:

\[ -60 = 2a_1 + 156 \]

Теперь отвлечемся от 156. Выразим \( 2a_1 \):

\[ 2a_1 = -60 - 156 \]

Считаем:

\[ 2a_1 = -216 \]

Теперь найдем \( a_1 \), разделив обе стороны на 2:

\[ a_1 = \frac{-216}{2} \]

Получаем:

\[ a_1 = -108 \]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \( -108 \).

Ответ:

Первый член арифметической прогрессии \( a_1 = -108 \).