Чтобы решить задачу, давайте вспомним, что арифметическая прогрессия (АП) характеризуется своим первым членом ( a_1 ) и разностью ( d ). Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d)
]
Где:
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов,
- ( n ) — количество членов (в данном случае ( n = 14 )),
- ( a_1 ) — первый член,
- ( d ) — разность.
В данной задаче у нас ( S_{14} = -420 ) и ( d = 12 ).
Теперь подставим известные значения в формулу для суммы:
[
-420 = \frac{14}{2} \cdot (2a_1 + (14 - 1) \cdot 12)
]
Упрощая:
[
-420 = 7 \cdot (2a_1 + 13 \cdot 12)
]
Посчитаем ( 13 \cdot 12 ):
[
13 \cdot 12 = 156
]
Теперь у нас получается:
[
-420 = 7 \cdot (2a_1 + 156)
]
Разделим обе стороны уравнения на 7:
[
-60 = 2a_1 + 156
]
Теперь отвлечемся от 156. Выразим ( 2a_1 ):
[
2a_1 = -60 - 156
]
Считаем:
[
2a_1 = -216
]
Теперь найдем ( a_1 ), разделив обе стороны на 2:
[
a_1 = \frac{-216}{2}
]
Получаем:
[
a_1 = -108
]
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен ( -108 ).
Ответ:
Первый член арифметической прогрессии ( a_1 = -108 ).
