Пусть F (x) и G (x) - первообразные соответственно функций f (x) и g (x) на некотором промежутке. Тогда какая из функций является первообразной для функции f (x) + g (x)?
Чтобы понять, какая функция является первообразной для суммы двух функций, давайте разберемся с определением первообразной и с тем, как работает интегрирование.
Первобычная (неопределенный интеграл) функции — это функция, производная которой равна данной функции. Если у нас есть две функции \( f(x) \) и \( g(x) \), и их первообразные обозначены как \( F(x) \) и \( G(x) \) соответственно, то по определению:
\[ F'(x) = f(x) \quad \text{и} \quad G'(x) = g(x) \]
Теперь мы хотим найти первообразную функции, которая равна сумме этих двух функций, то есть \( f(x) + g(x) \).
Согласно свойствам интегралов, существует правило, которое гласит:
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]
Это означает, что первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций. В нашем случае:
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]
Если обозначить \( F(x) \) как первообразную для \( f(x) \) и \( G(x) \) как первообразную для \( g(x) \), тогда можем записать:
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = F(x) + G(x) + C \]
где \( C \) — это произвольная константа интегрирования.
Таким образом, можно заключить, что первообразной для функции \( f(x) + g(x) \) является:
\[ F(x) + G(x) + C \]
Итак, итоговый ответ:
Ответ: Если \( F(x) \) — первообразная \( f(x) \), а \( G(x) \) — первообразная \( g(x) \), то первообразной для \( f(x) + g(x) \) является \( F(x) + G(x) + C \), где \( C \) — произвольная константа.
