Давайте решим уравнение (\sqrt{15} = \sqrt{x^2 + 7x + 10}) и найдем произведение его корней.
Шаг 1: Уберем квадратный корень
Сначала мы можем избавиться от квадратного корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:
[
15 = x^2 + 7x + 10
]
Шаг 2: Переносим все в одну сторону
Теперь перенесем 15 в правую часть уравнения:
[
x^2 + 7x + 10 - 15 = 0
]
Упрощаем уравнение:
[
x^2 + 7x - 5 = 0
]
Шаг 3: Используем формулу для нахождения корней
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
где (a = 1), (b = 7), (c = -5), а (D) – дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac
]
Шаг 4: Находим дискриминант
Подставим значения:
[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 49 + 20 = 69
]
Шаг 5: Находим корни
Теперь можем найти корни:
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}
]
Записываем корни:
- (x_1 = \frac{-7 + \sqrt{69}}{2})
- (x_2 = \frac{-7 - \sqrt{69}}{2})
Шаг 6: Находим произведение корней
Произведение корней квадратного уравнения можно найти по формуле:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
]
В нашем случае:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{1} = -5
]
Ответ
Произведение корней уравнения (\sqrt{15} = \sqrt{x^2 + 7x + 10}) равно (-5).
