Найдите все первообразные функции f (x) = 5x^4 + 2x^3.

Чтобы найти первообразные функции (или неопределённые интегралы) для данной функции \( f(x) = 5x^4 + 2x^3 \), нам нужно выполнить интегрирование каждого слагаемого отдельно. Рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1: Применим правило интегрирования

Для интегрирования функции \( x^n \) применяется следующее правило: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \] где \( C \) — произвольная константа.

Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое

Теперь интегрируем каждое слагаемое в функции \( f(x) \):

1. Интегрируем \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \int x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C_1 = x^5 + C_1 \]

2. Интегрируем \( 2x^3 \): \[ \int 2x^3 \, dx = 2 \cdot \int x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_2 = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = \frac{x^4}{2} + C_2 \]

Шаг 3: Объединяем результаты

Теперь можем объединить результаты интегрирования: \[ \int f(x) \, dx = x^5 + \frac{x^4}{2} + C \] где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная константа, которую мы добавляем, поскольку любой первообразный отличается на константу.

Ответ

Таким образом, первообразная функция для \( f(x) = 5x^4 + 2x^3 \) будет: \[ \int f(x) \, dx = x^5 + \frac{x^4}{2} + C \]

Это решение показывает все шаги, чтобы вы могли понять процесс нахождения первообразной. Если возникли вопросы по каждому шагу или по другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!