Чтобы найти первообразные функции (или неопределённые интегралы) для данной функции ( f(x) = 5x^4 + 2x^3 ), нам нужно выполнить интегрирование каждого слагаемого отдельно. Рассмотрим пошаговое решение.
Шаг 1: Применим правило интегрирования
Для интегрирования функции ( x^n ) применяется следующее правило:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1)
]
где ( C ) — произвольная константа.
Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое
Теперь интегрируем каждое слагаемое в функции ( f(x) ):
Интегрируем ( 5x^4 ):
[
\int 5x^4 , dx = 5 \cdot \int x^4 , dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C_1 = x^5 + C_1
]
Интегрируем ( 2x^3 ):
[
\int 2x^3 , dx = 2 \cdot \int x^3 , dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_2 = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = \frac{x^4}{2} + C_2
]
Шаг 3: Объединяем результаты
Теперь можем объединить результаты интегрирования:
[
\int f(x) , dx = x^5 + \frac{x^4}{2} + C
]
где ( C = C_1 + C_2 ) — произвольная константа, которую мы добавляем, поскольку любой первообразный отличается на константу.
Ответ
Таким образом, первообразная функция для ( f(x) = 5x^4 + 2x^3 ) будет:
[
\int f(x) , dx = x^5 + \frac{x^4}{2} + C
]
Это решение показывает все шаги, чтобы вы могли понять процесс нахождения первообразной. Если возникли вопросы по каждому шагу или по другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
