Найдите все первообразные функции f (x) = e^1 - x - 4sin(2x + 3).

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = e^1 - x - 4\sin(2x + 3) \), нам следует найти функцию \( F(x) \), такую что \( F'(x) = f(x) \). Рассмотрим каждый компонент функции отдельно.

1. Первый компонент: \( e^1 \)

   • Это просто константа. Первообразная константы \( a \) равна \( ax + C \), где \( C \) — произвольная постоянная. Следовательно, первообразная \( e^1 \) будет равна \( e^1 x \).

2. Второй компонент: \( -x \)

   • Первообразная от \( -x \) равна \( -\frac{x^2}{2} + C \).

3. Третий компонент: \( -4\sin(2x + 3) \)

   • Для нахождения первообразной синуса используем правило: \( \int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C \). Здесь \( k = 2 \), следовательно: \[ \int -4\sin(2x + 3) \, dx = -4 \left( -\frac{1}{2} \cos(2x + 3) \right) = 2\cos(2x + 3). \]

Теперь соберем все части вместе:

\[ F(x) = e^1 x - \frac{x^2}{2} + 2\cos(2x + 3) + C, \] где \( C \) — произвольная постоянная.

Таким образом, полная первообразная функции \( f(x) \) записывается как:

\[ F(x) = e^1 x - \frac{x^2}{2} + 2\cos(2x + 3) + C. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими заданиями, не стесняйтесь спрашивать!