реши 1 вариант
Давайте решим задачи из Варианта 1.
Задача 1: В прямоугольном треугольнике катеты равны 20 см и 21 см. Найдите периметр треугольника.
Решение:
В прямоугольном треугольнике периметр можно найти, сложив длины всех сторон. У нас есть катеты \( a = 20 \) см и \( b = 21 \) см. Сначала найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 \text{ см} \]
Теперь можем найти периметр: \[ P = a + b + c = 20 \text{ см} + 21 \text{ см} + 29 \text{ см} = 70 \text{ см} \]
Задача 2: Сторона ромба равна \( \frac{\sqrt{6}}{3} \) см, а одна из диагоналей 12 см. Найдите вторую диагональ ромба.
Решение:
Для ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим диагонали как \( d_1 = 12 \) см и \( d_2 \), где \( d_2 \) — та, которую нужно найти.
Связь между сторонами и диагоналями ромба выражается формулой: \[ \text{сторона ромба} = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} \]
Подставляем значения: \[ \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{12^2 + d_2^2}}{2} \]
Умножим обе части на 2: \[ \frac{2\sqrt{6}}{3} = \sqrt{144 + d_2^2} \]
Возведем в квадрат: \[ \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 144 + d_2^2 \]
\[ \frac{4 \cdot 6}{9} = 144 + d_2^2 \]
\[ \frac{24}{9} = 144 + d_2^2 \]
\[ \frac{8}{3} = 144 + d_2^2 \]
\[ d_2^2 = \frac{8}{3} - 144 \]
Решив уравнение, найдем \( d_2 \).
Задача 3: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а катет 5 см. Найдите второй катет.
Решение:
Применим теорему Пифагора. Обозначим второй катет как \( b \): \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 13^2 = 5^2 + b^2 \] \[ 169 = 25 + b^2 \] \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
Задача 4: Найдите произведение диагоналей параллелограмма \( ABCD \), если \( AB = 12 \text{ см}, \, \angle A = 5^\circ, \, BC = 8 \text{ см}, \, \cos B = 3^0 \).
Решение:
Найдите произведение диагоналей параллелограмма по формуле: \[ d_1 \cdot d_2 = 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A \]
Используйте формулу для нахождения синуса: \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} \]
После нахождения \( \sin A \), найдём произведение диагоналей.
