Прогулочный катер катал туристов 3 часа За это время он проплыл 13 км по течению реки и 18 км против течения Какова собственная скорость катера если скорость течения реки…

Для решения этой задачи давайте разобьем её на несколько шагов и используем известные формулы движения.

Данные из задачи:

1. Время, проведенное на маршруте: 3 часа.
2. Расстояние по течению реки: 13 км.
3. Расстояние против течения реки: 18 км.
4. Скорость течения реки: 2 км/ч.

Обозначения:

• \( v \) — собственная скорость катера.
• Движение по течению: скорость катера \( + \) скорость течения, то есть \( v + 2 \).
• Движение против течения: скорость катера \( - \) скорость течения, то есть \( v - 2 \).

Шаг 1: Составим уравнение для времени

Время, проведенное катером по течению и против течения, должно суммироваться в 3 часа. Время определяется как расстояние, деленное на скорость:

1. Время по течению: \[ t_1 = \frac{13}{v + 2} \]

2. Время против течения: \[ t_2 = \frac{18}{v - 2} \]

Шаг 2: Составляем уравнение

Суммируя время по течению и против течения, мы получаем: \[ \frac{13}{v + 2} + \frac{18}{v - 2} = 3 \]

Шаг 3: Устранение дробей

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на \( (v + 2)(v - 2) \): \[ 13(v - 2) + 18(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2) \]

Шаг 4: Раскроем скобки

Раскроем скобки на левой и правой стороне: \[ 13v - 26 + 18v + 36 = 3(v^2 - 4) \] \[ 31v + 10 = 3v^2 - 12 \]

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

\[ 3v^2 - 31v - 22 = 0 \]

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 3, b = -31, c = -22 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 961 + 264 = 1225 \]

Теперь найдем корни: \[ v = \frac{31 \pm \sqrt{1225}}{6} \] \(\sqrt{1225} = 35\): \[ v_1 = \frac{31 + 35}{6} = \frac{66}{6} = 11, \quad v_2 = \frac{31 - 35}{6} = \frac{-4}{6} \text{ (отрицательное значение не подходит)} \]

Ответ:

Собственная скорость катера \( v = 11 \) км/ч.

Итог:

Собственная скорость катера составляет 11 км/ч.