Для решения этой задачи давайте разобьем её на несколько шагов и используем известные формулы движения.
Данные из задачи:
- Время, проведенное на маршруте: 3 часа.
- Расстояние по течению реки: 13 км.
- Расстояние против течения реки: 18 км.
- Скорость течения реки: 2 км/ч.
Обозначения:
- ( v ) — собственная скорость катера.
- Движение по течению: скорость катера ( + ) скорость течения, то есть ( v + 2 ).
- Движение против течения: скорость катера ( - ) скорость течения, то есть ( v - 2 ).
Шаг 1: Составим уравнение для времени
Время, проведенное катером по течению и против течения, должно суммироваться в 3 часа. Время определяется как расстояние, деленное на скорость:
Время по течению:
[
t_1 = \frac{13}{v + 2}
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{18}{v - 2}
]
Шаг 2: Составляем уравнение
Суммируя время по течению и против течения, мы получаем:
[
\frac{13}{v + 2} + \frac{18}{v - 2} = 3
]
Шаг 3: Устранение дробей
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на ( (v + 2)(v - 2) ):
[
13(v - 2) + 18(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2)
]
Шаг 4: Раскроем скобки
Раскроем скобки на левой и правой стороне:
[
13v - 26 + 18v + 36 = 3(v^2 - 4)
]
[
31v + 10 = 3v^2 - 12
]
Шаг 5: Переносим все в одну сторону
[
3v^2 - 31v - 22 = 0
]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 3, b = -31, c = -22 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 961 + 264 = 1225
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{31 \pm \sqrt{1225}}{6}
]
(\sqrt{1225} = 35):
[
v_1 = \frac{31 + 35}{6} = \frac{66}{6} = 11, \quad v_2 = \frac{31 - 35}{6} = \frac{-4}{6} \text{ (отрицательное значение не подходит)}
]
Ответ:
Собственная скорость катера ( v = 11 ) км/ч.
Итог:
Собственная скорость катера составляет 11 км/ч.
