Средняя длина рыбы 30 см. 30% всей вылавливаемой рыбы имеют длину от 26 до 30 см. Какой процент рыбы имеют длину, превышающую 35 см, если Х подчинена нормальному закону
Для решения задачи сначала разберем информацию, которую мы имеем:
- Средняя длина рыбы составляет 30 см.
- 30% всей вылавливаемой рыбы имеют длину от 26 до 30 см.
- Длина рыбы подчинена нормальному распределению.
Шаг 1: Понимание нормального распределения
Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами:
- Среднее значение (математическое ожидание) \( \mu \).
- Стандартное отклонение \( \sigma \).
В нашей задаче среднее значение \( \mu = 30 \) см. Мы не знаем стандартное отклонение, но можем найти его, используя информацию о 30% рыбы с длиной от 26 до 30 см.
Шаг 2: Определение стандартного отклонения
Сначала найдем Z-значения для границ. Нам нужно определить, какой процент рыбы попадает между 26 см и 30 см.
Для нормального распределения процент или площадь под кривой может быть преобразована в Z-значения. Используем среднее значение 30 и обозначим \( x_1 = 26 \) см и \( x_2 = 30 \) см.
Z-значение рассчитывается по формуле: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Таким образом, для 26 см: \[ Z_1 = \frac{26 - 30}{\sigma} = \frac{-4}{\sigma} \]
Для 30 см: \[ Z_2 = \frac{30 - 30}{\sigma} = 0 \]
Теперь нам необходимо узнать, какой процент соответствует Z-значению от \( Z_1 \) до 0. Он составляет 30%.
Шаг 3: Использование таблицы нормального распределения
Поскольку \( P(Z < 0) = 0.5 \) (потому что это среднее значение), нам нужно найти значение Z для 30% площади, которое расположено между \( Z_1 \) и 0.
Итак: \[ P(Z < Z_1) = 0.5 - 0.3 = 0.2 \] Значит, нам нужно найти \( Z_1 \), соответствующее 20%.
По таблице нормального распределения, Z-значение для 20% (или 0.2) примерно равно -0.8416.
Теперь мы можем создать уравнение: \[ \frac{-4}{\sigma} = -0.8416 \] Решение: \[ \sigma = \frac{4}{0.8416} \approx 4.75 \text{ см} \]
Шаг 4: Нахождение процента с длиной больше 35 см
Теперь мы можем рассчитать Z-значение для 35 см: \[ Z = \frac{35 - 30}{4.75} \approx 1.0526 \]
Используем таблицы нормального распределения для определения процента рыбы длиной больше 35 см: \[ P(Z > 1.0526) = 1 - P(Z < 1.0526) \] По таблице \( P(Z < 1.0526) \approx 0.8531 \).
Следовательно: \[ P(Z > 1.0526) \approx 1 - 0.8531 = 0.1469 \]
Это означает, что примерно 14.69% рыбы имеет длину, превышающую 35 см.
Ответ
Таким образом, процент рыбы, имеющей длину, превышающую 35 см, составляет приблизительно 14.69%.
