Реши

Чтобы помочь тебе понять задачи контрольной работы №5 по теме "Числовые последовательности", давай разберём каждую задачу по порядку.

1. Найдите четыре члена, если сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии: \( \sum_{12} = 78 \), \( a_4 = 3 \).

Решение:

1. По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1) d). \] Где: \( S_{12} = 78 \), \( n = 12 \).

2. Формула для \( a_4 \): \[ a_4 = a_1 + 3d = 3. \]

3. Сумма двенадцати членов: \[ 78 = \frac{12}{2} (2a_1 + 11d). \] Упростим: \[ 78 = 6 (2a_1 + 11d). \] \[ 13 = 2a_1 + 11d. \]

4. Получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} 2a_1 + 11d = 13 \\ a_1 + 3d = 3 \end{cases} \]

5. Решив систему, найдем \( a_1 \) и \( d \).

2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии: \( b_1 = 8 \), \( b_3 = 72 \).

Решение:

1. Формула для \( b_n \) в геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1}. \]

2. Найдем \( q \) с использованием \( b_3 \): \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 = 72. \] \[ 8 \cdot q^2 = 72. \] \[ q^2 = 9 \Rightarrow q = 3 \, \text{или} \, q = -3. \]

3. Пятый член: \[ b_5 = 8 \cdot q^4. \]

4. Сумма первых четырёх членов: \[ S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 - 1}{q - 1}. \]

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: \( b_1 = 28 \), \( q = \frac{1}{4} \).

Решение:

1. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: \[ S = \frac{b_1}{1 - q}. \]

2. Подставим значения: \[ S = \frac{28}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{28}{\frac{3}{4}} = \frac{28 \cdot 4}{3}. \]

4. Найдите сумму арифметической прогрессии: \( a_1 = 2 \), \( a_n = 72 \), \( n = 18 \).

Решение:

1. Формула суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n). \]

2. Подставим значения и найдём сумму: \[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (2 + 72). \]

5. Какое число надо вставить между числами 2, 5, 10, чтобы они были членами геометрической прогрессии?

Решение:

1. Пусть это число \( x \), прогрессия: \( 2, x, 5, 10 \).

2. Используем свойство геометрической прогрессии: \( x = \sqrt{2 \cdot 5} \).

6. Найдите 4 и 7 члены арифметической прогрессии: \( 2x + 6, \, 5x + 4, \, 8x + 2. \)

Решение:

1. Найдем разность \( d \): \[ d = (5x + 4) - (2x + 6) = 3x - 2. \]

2. Четвертый член \( a_4 \): \[ a_4 = a_1 + 3d = 2x + 6 + 3(3x - 2). \]

3. Седьмой член \( a_7 \): \[ a_7 = a_1 + 6d = 2x + 6 + 6(3x - 2). \]

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.

Решение:

1. Первое такое число: \( 102 \).

2. Последнее такое число: \( 198 \).

3. Это арифметическая прогрессия, где: \[ a_1 = 102, \, d = 6. \]

4. Найдем количество членов \( n \): решаем уравнение для последнего члена \( 198 = 102 + (n-1) \cdot 6 \).

5. Ищем сумму такой прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n). \]

Если у тебя возникли вопросы по какому-то из шагов, дай знать!