Реши все задания

Для решения задач из контрольной работы по теме "Числовые последовательности" давайте разберем каждую из них по очереди.

1. Задача 1: Найдите четвертый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии \( a_1, a_2, a_3, \ldots \), если ее первый член равен 7, а разность прогрессии равна 3.

   Решение:

   • Четвертый член прогрессии, \( a_4 \): Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] где \( a_1 = 7 \), \( d = 3 \).

     \( a_4 = 7 + (4 - 1) \cdot 3 = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 \).

   • Сумма первых двадцати членов, \( S_{20} \): Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Найдем \( a_{20} \): \[ a_{20} = 7 + (20 - 1) \cdot 3 = 7 + 57 = 64 \] Тогда: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (7 + 64) = 10 \cdot 71 = 710 \]

2. Задача 2: Найдите пятый член и сумму первых десяти членов геометрической прогрессии \( b_1, b_2, b_3, \ldots \), в которой \( b_1 = 3 \), \( q = 2 \).

   Решение:

   • Пятый член, \( b_5 \): Формула \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] \( b_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 \).

   • Сумма первых десяти членов, \( S_{10} \): Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии (если \( q \neq 1 \)): \[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] \[ S_{10} = 3 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (1024 - 1) = 3 \cdot 1023 = 3069 \]

3. Задача 3: Найдите сумму всех членов геометрической прогрессии: 28, 14, 7, 3.5, \(\ldots\)

   Решение:

   • Видно, что эта прогрессия убывающая, и \( q = \frac{14}{28} = 0.5 \).
   • Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] \[ S = \frac{28}{1 - 0.5} = \frac{28}{0.5} = 56 \]

4. Задача 4: Найдите такое \( x \), чтобы из данных чисел составлялась арифметическая прогрессия: \( 3, x+2, 3x \).

   Решение:

   Для арифметической прогрессии разности между соседними элементами должны быть равны: \[ (x+2) - 3 = 3x - (x+2) \] \[ x - 1 = 2x - 2 \] \[ x - 2x = -2 + 1 \] \[ -x = -1 \implies x = 1 \]

5. Задача 5: Найдите два числа из всех чисел между числами 2.5 и 20, чтобы их сумма делилась на 2 и первая половина чисел была четной, а вторая половина была нечетной.

   Решение:

   Необходимо выбрать четное и нечетное число, сумма которых будет четным числом. Например, выберем 4 и 18: \[ 4 + 18 = 22 \] 22 делится на 2. Числа удовлетворяют условию.

6. Задача 6: Найдите сумму всех четных чисел, содержащихся в промежутке от числа 200 до 300.

   Решение:

   Первое четное число в этом диапазоне — 200, последнее — 300. Это арифметическая прогрессия с \( a_1 = 200 \), \( a_n = 300 \), и \( d = 2 \).

   Найдем число членов прогрессии (последний номер член): \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] \[ 300 = 200 + (n - 1) \cdot 2 \] \[ 100 = 2(n - 1) \] \[ 50 = n - 1 \implies n = 51 \]

   Сумма: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] \[ S_{51} = \frac{51}{2} \cdot (200 + 300) = 51 \cdot 250 = 12750 \]

7. Задача 7: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.

   Решение:

   Первое число, кратное 6, больше 100 — 102, последнее меньше 200 — 198. Найдем сумму этой арифметической прогрессии с \( a_1 = 102 \), \( a_n = 198 \), и \( d = 6 \).

   Найдем количество членов: \[ 198 = 102 + (n-1) \cdot 6 \] \[ 96 = 6(n-1) \] \[ n = 17 \]

   Сумма: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (102 + 198) = \frac{17}{2} \cdot 300 = 17 \cdot 150 = 2550 \]

Надеюсь, решения были понятными! Если есть ещё вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать.