В конус, осевое сечение которого - равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите радиус шара, если радиус основания конуса равен 2√3 см

Для решения данной задачи начнем с понимания геометрической конфигурации: у нас есть конус с равносторонним треугольником в качестве осевого сечения, и мы хотим найти радиус шара, вписанного в этот конус.

Шаг 1: Понимание конфигурации конуса

Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник. Поскольку радиус основания конуса равен \(2\sqrt{3}\) см, мы можем использовать это значение для расчета высоты конуса и высоты вписанного шара.

Шаг 2: Связь радиуса и высоты конуса

Для равностороннего треугольника \( ABC \) в сечении можно использовать свойства, связанные с радиусом описанной окружности и высотой. В равностороннем треугольнике радиус \( R \) описанной окружности равен:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника. Поскольку треугольник описан вокруг круга, и мы знаем радиус основания конуса:

1. В данном случае, радиус основания \[ r_{\text{основания}} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Сторона равностороннего треугольника:

   • В таком треугольнике эта связь дает нам: \[ \frac{a}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \Rightarrow a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \text{ см} \]

Шаг 3: Высота равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника, высота \( h \) может быть найдена по формуле:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Теперь подставляем значение стороны:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 4: Радиус шара, вписанного в конус

Радиус шара \( r \), вписанного в конус, можно выразить через радиус основания \( R \) и высоту \( h \):

\[ r = \frac{R \cdot h}{R + h} \]

Теперь подставляем наши значения:

• \( R = 2\sqrt{3} \text{ см} \)
• \( h = 3\sqrt{3} \text{ см} \)

Рассчитаем \( r \):

\[ r = \frac{(2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3})}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 3}{5\sqrt{3}} = \frac{18}{5\sqrt{3}} \]

Теперь упростим:

\[ r = \frac{18\sqrt{3}}{15} = \frac{6\sqrt{3}}{5} \text{ см} \]

Ответ

Итак, радиус шара, вписанного в конус, равен \( \frac{6\sqrt{3}}{5} \) см.