Сколько различных шестерок можно образовать из 14 волейболистов?

Чтобы понять, сколько различных шестерок (подмножств из 6 волейболистов) можно образовать из 14 волейболистов, мы можем использовать комбинаторику, в частности - формулу для вычисления комбинаций.

Формула для комбинаций

Количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учета порядка вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) - количество комбинаций,
• \( n! \) - факториал числа \( n \) (произведение всех целых чисел от 1 до \( n \)),
• \( k \) - количество элементов, которое мы выбираем,
• \( n-k \) - это элементы, которые мы не выбираем.

Применение формулы к задаче

В нашей задаче:

• \( n = 14 \) (общее количество волейболистов),
• \( k = 6 \) (количество волейболистов, которых мы выбираем).

Теперь подставим значения в формулу:

\[ C(14, 6) = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6! \cdot 8!} \]

Вычисление факториалов

Для упрощения мы можем вычислить лишь необходимые множители:

\[ 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \]

Таким образом, \( 8! \) в числителе и знаменателе сокращается:

\[ C(14, 6) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6!} \]

Теперь нужно вычислить \( 6! \):

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

Подсчет значений

Теперь подставляем все значения обратно:

\[ C(14, 6) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{720} \]

Сначала посчитаем числитель:

\[ 14 \times 13 = 182 \] \[ 182 \times 12 = 2184 \] \[ 2184 \times 11 = 24024 \] \[ 24024 \times 10 = 240240 \] \[ 240240 \times 9 = 2162160 \]

Теперь у нас есть числитель \( 2162160 \):

\[ C(14, 6) = \frac{2162160}{720} \]

Теперь делим:

\[ C(14, 6) = 3003 \]

Ответ

Таким образом, количество различных шестерок, которые можно образовать из 14 волейболистов, составляет 3003.