Наугад выбирается число от 1 до 100 .Найдите вероятность того, что оно будет кратно 2 или 5 (или и тому, и другому).

Чтобы найти вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 100 будет кратно 2 или 5, давайте сначала определим количество благоприятных исходов и общее количество возможных исходов.

Шаг 1: Общее количество чисел

Общее количество целых чисел от 1 до 100 — это 100 (все числа: 1, 2, 3, ..., 100).

Шаг 2: Найдем количество чисел, кратных 2

Числа, кратные 2 в диапазоне от 1 до 100: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 100.

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член (a) = 2
• Последний член (l) = 100
• Разность (d) = 2

Чтобы найти количество таких чисел, используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \[ l = a + (n - 1) \cdot d \] где:

• \( n \) — количество членов прогрессии.

Решим это уравнение для \( n \): \[ 100 = 2 + (n - 1) \cdot 2 \] \[ 100 - 2 = (n - 1) \cdot 2 \] \[ 98 = (n - 1) \cdot 2 \] \[ n - 1 = 49 \] \[ n = 50 \]

Итак, чисел, кратных 2, — 50.

Шаг 3: Найдем количество чисел, кратных 5

Числа, кратные 5 в диапазоне от 1 до 100: 5, 10, 15, 20, ..., 100.

Используем ту же самую логику. Первый член (a) = 5, последний член (l) = 100, разность (d) = 5: \[ 100 = 5 + (n - 1) \cdot 5 \] Решим уравнение для \( n \): \[ 100 - 5 = (n - 1) \cdot 5 \] \[ 95 = (n - 1) \cdot 5 \] \[ n - 1 = 19 \] \[ n = 20 \]

Итак, чисел, кратных 5, — 20.

Шаг 4: Найдем количество чисел, кратных и 2, и 5 (то есть кратных 10)

Числа, кратные 10 в диапазоне от 1 до 100: 10, 20, 30, ..., 100.

Первый член (a) = 10, последний член (l) = 100, разность (d) = 10: \[ 100 = 10 + (n - 1) \cdot 10 \] Опять решим для \( n \): \[ 100 - 10 = (n - 1) \cdot 10 \] \[ 90 = (n - 1) \cdot 10 \] \[ n - 1 = 9 \] \[ n = 10 \]

Итак, чисел, кратных 10, — 10.

Шаг 5: Используем формулу для вероятности

Согласно теореме о вероятности для объединения двух событий A и B: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] где:

• \( P(A) \) — вероятность первого события (кратные 2),
• \( P(B) \) — вероятность второго события (кратные 5),
• \( P(A \cap B) \) — вероятность пересечения (кратные 10).

Теперь подставим числа:

• \( P(A) = \frac{50}{100} = 0.5 \)
• \( P(B) = \frac{20}{100} = 0.2 \)
• \( P(A \cap B) = \frac{10}{100} = 0.1 \)

Следовательно: \[ P(A \cup B) = 0.5 + 0.2 - 0.1 = 0.6 \]

Заключение

Таким образом, вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 100 будет кратно 2 или 5, составляет 0.6 или 60%.