В группе туристов 20 человек. Их на моторной лодке доставляют на остров, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором лодка перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность…

Для решения данной задачи определим, что нам нужно найти вероятность того, что Василий отправится на остров первым рейсом среди 20 туристов, перевозя по 4 человека за раз.

Шаг 1: Определение общего числа туристов

В группе у нас 20 туристов.

Шаг 2: Определение количества мест на первом рейсе

Каждый рейс может перевезти по 4 человека. Это значит, что в первом рейсе у нас будет 4 места.

Шаг 3: Определение благоприятного исхода

Для того чтобы Василий оказался среди тех, кто поедет первым, он должен быть в числе 4 человек, которых выберут для первого рейса.

Шаг 4: Вычисление общего числа способов выбрать 4 туриста из 20

Общее число способов выбрать 4 туристов из 20 можно вычислить с помощью формулы числа сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее число элементов (в нашем случае это 20), а \( k \) — число элементов, которые нужно выбрать (в нашем случае это 4).

\[ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

Шаг 5: Вычисление числа способов, при которых Василий окажется в первом рейсе

Теперь, если Василий уже выбран, нам необходимо выбрать ещё 3 человека из 19 оставшихся (поскольку один — это Василий).

\[ C(19, 3) = \frac{19!}{3!(19-3)!} = \frac{19!}{3! \cdot 16!} = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 969 \]

Шаг 6: Вычисление вероятности

Теперь, зная количество благоприятных исходов (где Василий в числе первых 4) и общее количество исходов, мы можем вычислить вероятность.

Вероятность \( P \) того, что Василий будет в первом рейсе:

\[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{C(19, 3)}{C(20, 4)} = \frac{969}{4845} \]

Шаг 7: Упрощение результата

Чтобы упростить выражение, можно делить числитель и знаменатель на 969 (где возможно), но в данном случае, проще оставить так, так как проще всего посчитать приближенно:

Приблизительно:

\[ P \approx 0.2 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Василий переправится на остров первым рейсом, равна \( \frac{969}{4845} \), что приблизительно равно 0.2 или 20%.