решите неравенство √x+8<x+2 короткое решение

Решим неравенство \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) шаг за шагом.

Шаг 1: Изолируем радикал Для начала, давайте перенесем все элементы на одну сторону неравенства:

\[ \sqrt{x} + 8 < x + 2 \]

Вычтем 8 из обеих сторон:

\[ \sqrt{x} < x + 2 - 8 \]

Упрощаем:

\[ \sqrt{x} < x - 6 \]

Шаг 2: Определим область допустимых значений Так как мы имеем дело с квадратным корнем, \(x\) должно быть неотрицательным:

\[ x \geq 0 \]

Кроме того, нужно учитывать, что правая часть неравенства также должна быть положительной, иначе корень не может быть меньше. Это означает, что:

\[ x - 6 > 0 \implies x > 6 \]

Таким образом, область допустимых значений ляжет на интервал \(x \geq 6\).

Шаг 3: Возводим в квадрат Теперь давайте возведем обе стороны неравенства в квадрат (помните, что при этом необходимо учитывать, что обе стороны положительны):

\[ (\sqrt{x})^2 < (x - 6)^2 \]

Получаем:

\[ x < x^2 - 12x + 36 \]

Шаг 4: Упрощаем неравенство Переносим все в одну сторону:

\[ 0 < x^2 - 13x + 36 \]

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения Решаем уравнение:

\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Для нахождения корней используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \]

Шаг 6: Определяем знаки Знак выражения \(x^2 - 13x + 36\) меняется в точках корней \(x = 4\) и \(x = 9\). Мы можем протестировать интервалы:

• Для \(x < 4\) (например, \(x = 0\)): \(36 > 0\) (положительно)
• Для \(4 < x < 9\) (например, \(x = 5\)): \(-1 < 0\) (отрицательно)
• Для \(x > 9\) (например, \(x = 10\)): \(36 > 0\) (положительно)

Шаг 7: Итоги Неравенство выполняется на интервалах \(x < 4\) и \(x > 9\), но учитывая область допустимых значений \(x \geq 6\), остаётся лишь:

\[ x > 9 \]

Ответ: Решение неравенства \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) – это \(x > 9\).