Решите неравенство √x+8

Решим неравенство \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) шаг за шагом. **Шаг 1:** Изолируем радикал Для начала, давайте перенесем все элементы на одну сторону неравенства: \[ \sqrt{x} + 8 < x + 2 \] Вычтем 8 из обеих сторон: \[ \sqrt{x} < x + 2 - 8 \] Упрощаем: \[ \sqrt{x} < x - 6 \] **Шаг 2:** Определим область допустимых значений Так как мы имеем дело с квадратным корнем, \(x\) должно быть неотрицательным: \[ x \geq 0 \] Кроме того, нужно учитывать, что правая часть неравенства также должна быть положительной, иначе корень не может быть меньше. Это означает, что: \[ x - 6 > 0 \implies x > 6 \] Таким образом, область допустимых значений ляжет на интервал \(x \geq 6\). **Шаг 3:** Возводим в квадрат Теперь давайте возведем обе стороны неравенства в квадрат (помните, что при этом необходимо учитывать, что обе стороны положительны): \[ (\sqrt{x})^2 < (x - 6)^2 \] Получаем: \[ x < x^2 - 12x + 36 \] **Шаг 4:** Упрощаем неравенство Переносим все в одну сторону: \[ 0 < x^2 - 13x + 36 \] **Шаг 5:** Находим корни квадратного уравнения Решаем уравнение: \[ x^2 - 13x + 36 = 0 \] Для нахождения корней используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \] Корни: \[ x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \] **Шаг 6:** Определяем знаки Знак выражения \(x^2 - 13x + 36\) меняется в точках корней \(x = 4\) и \(x = 9\). Мы можем протестировать интервалы: - Для \(x < 4\) (например, \(x = 0\)): \(36 > 0\) (положительно) - Для \(4 < x < 9\) (например, \(x = 5\)): \(-1 < 0\) (отрицательно) - Для \(x > 9\) (например, \(x = 10\)): \(36 > 0\) (положительно) **Шаг 7:** Итоги Неравенство выполняется на интервалах \(x < 4\) и \(x > 9\), но учитывая область допустимых значений \(x \geq 6\), остаётся лишь: \[ x > 9 \] **Ответ:** Решение неравенства \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) – это \(x > 9\).