Чтобы найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии (AP) S7, начнем с анализа предоставленных данных.
У нас есть:
- ( A_4 = 10 ) (4-й член прогрессии)
- ( A_{12} = 26 ) (12-й член прогрессии)
Из формулы неразрывности арифметической прогрессии можно выразить n-й член AP:
[
A_n = A_1 + (n-1)d
]
где:
- ( A_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии.
Шаг 1: Выразим ( A_4 ) и ( A_{12} )
Для 4-го члена:
[
A_4 = A_1 + 3d = 10 \quad (1)
]
Для 12-го члена:
[
A_{12} = A_1 + 11d = 26 \quad (2)
]
Шаг 2: Найдем систему уравнений
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( A_1 + 3d = 10 )
- ( A_1 + 11d = 26 )
Шаг 3: Уменьшим систему
Вычтем (1) из (2):
[
(A_1 + 11d) - (A_1 + 3d) = 26 - 10
]
[
8d = 16
]
[
d = 2
]
Шаг 4: Найдем ( A_1 )
Подставим ( d = 2 ) в (1):
[
A_1 + 3 \times 2 = 10
]
[
A_1 + 6 = 10
]
[
A_1 = 4
]
Шаг 5: Найдем сумму первых 7 членов ( S_7 )
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} (A_1 + A_n)
]
Где ( A_n ) — n-й член прогрессии. Для ( n = 7 ):
Найдём 7-й член ( A_7 ):
[
A_7 = A_1 + 6d = 4 + 6 \times 2 = 4 + 12 = 16
]
Теперь подставим значения в формулу для суммы:
[
S_7 = \frac{7}{2} (A_1 + A_7) = \frac{7}{2} (4 + 16) = \frac{7}{2} \times 20 = \frac{140}{2} = 70
]
Ответ:
Сумма первых семи членов арифметической прогрессии ( S_7 = 70 ).
