Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, следуем пошагово.
Шаг 1: Найти производную функции
Данная функция ( f(x) = -x^2 - 2x + 7 ). Сначала найдем ее производную ( f'(x) ), которая покажет наклон касательной.
- Производная от ( -x^2 ) равна ( -2x ).
- Производная от ( -2x ) равна ( -2 ).
- Производная от ( 7 ) равна ( 0 ).
Таким образом, получаем:
[
f'(x) = -2x - 2
]
Шаг 2: Найти значение производной в точке ( x = 1 )
Теперь нужно подставить ( x = 1 ) в производную, чтобы найти наклон касательной:
[
f'(1) = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4
]
Так что наклон касательной в точке ( x = 1 ) равен ( -4 ).
Шаг 3: Найти значение функции в точке ( x = 1 )
Теперь найдем значение функции ( f ) в точке ( x = 1 ):
[
f(1) = -1^2 - 2(1) + 7 = -1 - 2 + 7 = 4
]
Таким образом, точка касания на графике функции будет ( (1, 4) ).
Шаг 4: Использовать формулу уравнения прямой
Уравнение касательной (прямой) можно записать в виде:
[
y - y_0 = m(x - x_0)
]
где ( (x_0, y_0) ) — точка касания, а ( m ) — наклон.
Подставим наши значения:
- ( x_0 = 1 )
- ( y_0 = 4 )
- ( m = -4 )
Получаем:
[
y - 4 = -4(x - 1)
]
Шаг 5: Упростить уравнение
Теперь упростим уравнение:
[
y - 4 = -4x + 4
]
Прибавим ( 4 ) к обеим сторонам:
[
y = -4x + 4 + 4
]
[
y = -4x + 8
]
Ответ
Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = -x^2 - 2x + 7 ) в точке с абсциссой 1:
[
y = -4x + 8
]
