Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f (x) = -x≥ - 2x + 7 в его точке с абсциссой 1

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, следуем пошагово.

Шаг 1: Найти производную функции

Данная функция \( f(x) = -x^2 - 2x + 7 \). Сначала найдем ее производную \( f'(x) \), которая покажет наклон касательной.

1. Производная от \( -x^2 \) равна \( -2x \).
2. Производная от \( -2x \) равна \( -2 \).
3. Производная от \( 7 \) равна \( 0 \).

Таким образом, получаем: \[ f'(x) = -2x - 2 \]

Шаг 2: Найти значение производной в точке \( x = 1 \)

Теперь нужно подставить \( x = 1 \) в производную, чтобы найти наклон касательной: \[ f'(1) = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4 \] Так что наклон касательной в точке \( x = 1 \) равен \( -4 \).

Шаг 3: Найти значение функции в точке \( x = 1 \)

Теперь найдем значение функции \( f \) в точке \( x = 1 \): \[ f(1) = -1^2 - 2(1) + 7 = -1 - 2 + 7 = 4 \] Таким образом, точка касания на графике функции будет \( (1, 4) \).

Шаг 4: Использовать формулу уравнения прямой

Уравнение касательной (прямой) можно записать в виде: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( (x_0, y_0) \) — точка касания, а \( m \) — наклон.

Подставим наши значения:

• \( x_0 = 1 \)
• \( y_0 = 4 \)
• \( m = -4 \)

Получаем: \[ y - 4 = -4(x - 1) \]

Шаг 5: Упростить уравнение

Теперь упростим уравнение: \[ y - 4 = -4x + 4 \]

Прибавим \( 4 \) к обеим сторонам: \[ y = -4x + 4 + 4 \] \[ y = -4x + 8 \]

Ответ

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = -x^2 - 2x + 7 \) в точке с абсциссой 1:

\[ y = -4x + 8 \]