Найди вероятность того,что тройка выпадет ровно три раза,если игральную кость бросают 6 раз

Для решения задачи о вероятности того, что тройка выпадет ровно три раза при бросании игральной кости 6 раз, мы можем использовать формулу для распределения Бернулли. Вот пошаговое объяснение:

Шаг 1: Определение параметров задачи

1. Количество бросков (n): 6 (игральная кость бросается 6 раз).
2. Количество успешных бросков (k): 3 (мы хотим, чтобы тройка выпала 3 раза).
3. Вероятность успеха в одном броске (p): При броске игральной кости вероятность того, что выпадет тройка, равна 1 из 6, то есть \(p = \frac{1}{6}\).
4. Вероятность неудачи (q): Соответственно, вероятность того, что не выпадет тройка, равна \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).

Шаг 2: Применение формулы

Вероятность того, что тройка выпадет ровно k раз в n бросках, описывается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:

• \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
• \(n!\) (факториал n) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

Шаг 3: Вычисление всех составляющих

1. Вычисление биномиального коэффициента \(C(6, 3)\): \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

2. Вычисление \(p^k\): \[ p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \]

3. Вычисление \(q^{n-k}\): \[ q^{6-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]

Шаг 4: Подставление значений в формулу

Теперь подставляем наши вычисления в формулу: \[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot p^3 \cdot q^{3} = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} \]

Шаг 5: Подсчет вероятности

1. Сначала вычислим: \[ 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = 20 \cdot \frac{125}{216^2} \]

2. Используем значение \(216^2 = 46656\): \[ 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} \]

Шаг 6: Окончательный ответ

Вероятность того, что тройка выпадет ровно три раза при 6 бросках игральной кости, равна: \[ P(X = 3) = \frac{2500}{46656} \approx 0.0535 \]

Таким образом, вероятность составляет примерно 5.35%.